Matematik

Underrum af vektorrum

19. oktober 2011 af Hejsan111 (Slettet)

I vektorrummet P2(R) bestående af reelle polynomier af grad højst 2 betragtes delmængden
U = {P(x) ∈ P2(R) | P(4) = 0 }

a) Vis at U er et underrum af vektorrummet P2(R) .

b) Udvælg blandt de fem følgende polynomier
4 - x , 4 - x2, 8 - 2x , 16 - 8x + x2 og 12 - 7x + x2
en basis for U .


c) Angiv en lineær afbildning f : P2(R) -> R som har U som kerne.

Jeg går i stå allerede i første del spørgsmål, men forstår heller ikke fremgangsmåden for b) og c).

Nogen der har et forslag? På forhånd tak.


Brugbart svar (0)

Svar #1
19. oktober 2011 af Andersen11 (Slettet)

a) Eftervis, at U opfylder all betingelserne for et vektorrum.

b) Udvælg et antal lineært uafhængige polynomier, hvor antallet svarer til dim(U).

c) Kernen for en lineær afbildning f er mængden af de vektorer u, for hvilke f(u) = 0 . En oplagt afbildning f, der har U som kerne, vil da være afbildningen

f: u -> u(4) .


Brugbart svar (0)

Svar #2
19. oktober 2011 af peter lind

Jeg er ikke sikker på hvad P(4)= 0 betyder. jeg gætter på at det er de polynomier, der har roden 4. Det følgende forudsætter at dette er rigtig.

a) Du skal vise p(x)∈U ∧q(x) ∈ U ⇒ p(x)+q(x) ∈ U samt at p((x)∈ U ⇒ k*p(x) ∈ U

b) Find et første grads og et andet grads polynomium, der har roden 4

c)  f -> a*u+b*v +c hvor b er givne tal(find selv på nogle). u og v og c er basisvektorer i U


Brugbart svar (0)

Svar #3
19. oktober 2011 af Andersen11 (Slettet)

#2

Ja, der er tale om det underrum af polynomier af grad højst 2, der har 4 som rod.


Svar #4
19. oktober 2011 af Hejsan111 (Slettet)

a) Skal jeg eftervise, at
1) s(P1(x)+P2(x)) = s(P1(x)) + s(P2(x))

2) f(k*v1) = k * f(v1)

?

Dvs. 1:

P(4)=0

P1(x)=a0+a1*x+a2*x^2

P2(x)=b0+b1*x+b2*x^2

P1(4)=a0+a1*4+a2*4^2

P2(4)=b0+b1*4+b2*4^2

s(P1(x)+P2(x)) =

(a0+b0+(a1+b1)*4+(a2+b2)*4^2) = 0 ⇒

(a0+4*a1+16*a2) + (b0 + 4*b1 + 16*b2) = 0

 

Er det sådan a) skal forstås?

 


Brugbart svar (0)

Svar #5
19. oktober 2011 af peter lind

Nej. Du skal bevise at hvis 2 polynomier af højst anden grad har roden 4, så har deres sum også roden 4. Tilsvarende for den næste


Svar #6
19. oktober 2011 af Hejsan111 (Slettet)

Men det er da simpelt? Hvis man lægger to polynomier sammen, så får lægger man bare koefficienterne sammen.

Dvs.

P1(x)=a0+a1*x+a2*x^2

P2(x)=b0+b1*x+b2*x^2

P1(x)+P2(x) =

(a0+b0)+(a1+b1)*x+(a2+b2)*x^2

og

k*P1(x) = k*(a0+a1*x+a2*x^2) = k*a0+k*a1*x+k*a2*x^2

Roden i begge tilfælde uændret.


Brugbart svar (0)

Svar #7
19. oktober 2011 af peter lind

Det er meget simpelt og det er måske det der forvirrer dig; men jeg kan altså ikke se at du har bevist at reglerne gælder. Du skriver jo bare op, hvad man forstår ved sum af 2 funktioner og hvad et tal * en funktion betyder.


Svar #8
19. oktober 2011 af Hejsan111 (Slettet)

Ja nemlig. Men som jeg ser det, så viser det jo netop også at roden forbliver uændret. Jeg kan ikke se hvad man skulle kunne gøre udover det.


Brugbart svar (0)

Svar #9
19. oktober 2011 af peter lind

Der indgår jo absolut intet om roden i din udregninger, hvorfor du ikke kan bruge det til at vise noget som helst om roden. Det kan nemt bevises af at p(4) = 0 ∧ q(4) = 0 ⇒ p(4)+q(4) = 0


Svar #10
19. oktober 2011 af Hejsan111 (Slettet)

P1(4)=a0+a1*4+a2*4^2 = 0

P2(4)=b0+b1*4+b2*4^2 = 0

P1(x)+P2(x) =

a0+b0+(a1+b1)*4+(a2+b2)*4^2 = 0

Jeg kan simpelthen ikke se hvordan jeg kan komme nærmere end det.

Hvis jeg stadig er helt galt på den må jeg lige tænke over det en dags tid.


Brugbart svar (0)

Svar #11
19. oktober 2011 af peter lind

Jeg tror det vil være en god ide at tænke over det. Du har rodet dig ud i en masse overflødig detaljer, så det væsentlige er gået tabt.

p(x)∈U så p(4) = 0

q(x) ∈U så q(4) = 0

Hvad så med r(x) = p(x)+q(x) ?

Der gælder r(4) = p(4)+q(4) = 0 + 0 = 0 så r(x) overholder også betingelsen for at ligge i U


Svar #12
19. oktober 2011 af Hejsan111 (Slettet)

Ja. Jeg kan godt forstå hvad det handler om, og hvorfor betingelserne bliver overholdt, men det lige at få skrevet noget klogt til det... Det kommer nok senere.

b) forstår jeg godt.

Til c) skriver du (Peter):

c)  f -> a*u+b*v +c hvor b er givne tal(find selv på nogle). u og v og c er basisvektorer i U

mener du, hvor a og b er givne tal og u, v og c er basisvektorerne i U? (som jeg har valgt b))


Brugbart svar (0)

Svar #13
19. oktober 2011 af peter lind

Du kan supplere basisvektorerne for U til et basis for hele vektorrummet. En opløsning af et givet polynomium i basisvektorer, som så kun giver noget forskelligt fra 0 for den af basisvektorene der ikke ligger i U.

Forslaget i #1 er meget mere enkelt, så jeg vil anbefale dig at bruge det. Du skal lige redegøre for at det er en lineær afbildning; men det er nemt


Svar #14
19. oktober 2011 af Hejsan111 (Slettet)

Ja det kan jeg godt se. Tusind tak for hjælpen andersen11 og peter lind.


Brugbart svar (0)

Svar #15
22. oktober 2011 af gy (Slettet)

Hvordan viser jeg at q(x) ∈U og hvårdan kan jeg vise at p(4)+q(4) = 0 når jeg ikke har nogen værdier jeg kan sætte ind i de to polynomier udover x=4. For at gøre mit spørgsmål klarere: kan jeg godt nøjes med at besvare opgaven således: p(x)∈U så p(4) = 0

q(x) ∈U så q(4) = 0

Hvad så med r(x) = p(x)+q(x) ?

Der gælder r(4) = p(4)+q(4) = 0 + 0 = 0 så r(x) overholder også betingelsen for at ligge i U


Brugbart svar (0)

Svar #16
22. oktober 2011 af Andersen11 (Slettet)

#15

Man ser på to polynomier p og q, for hvilke p(4) = 0 og q(4) = 0, og skal så vise, at

r = λ1p + λ2q , (hvor λ1, λ2 erskalarer), igen er et pol. af grad højst 2, for hvilket r(4) = 0 , og det er jo helt oplagt.


Brugbart svar (0)

Svar #17
22. oktober 2011 af gy (Slettet)

Jeg forstår godt princippet med, at det er et underrum såfremt p(4) + q(4)=0 samt at k*p(x) ∈ U. men kan jeg godt besvare opgaven ved at sige, at vi ved at p(4)=0 ∈ U vi antager nu at q(4)=0 også ∈ U, dvs. at p(4)+q(4)=0+0=0 hvilket ∈ U, samt at k*p(4) også ∈ U, hvilket viser, at det er underrum? for hvis jeg bare skriver ovenstående, har jeg vel ikke bevist at U opfylder de to stabilitetskrav?


Brugbart svar (0)

Svar #18
22. oktober 2011 af Andersen11 (Slettet)

#17

Man ser på to vektorer p, q i U og viser, at enhver linearkombination af sådanne to vektorer igen er i U. Det viser da stabiliteten af U .


Brugbart svar (0)

Svar #19
22. oktober 2011 af gy (Slettet)

du må undskylde hvis jeg ikke er så hurtig til at forstå det, men jeg forstår godt hvad der skal vises, jeg forstår bare ikke hvilke beregninger jeg skal skrive for at bevise ovenstående, hvis du forstår hvad jeg mener? til b delen i opgaven er jeg kommet frem til, at polynomierne: 4-x, 8-2x, 16-8x+x^2 samt 12-7x+x^2 har roden 4, men hvordan viser jeg, at de er lineært uafhængige?


Brugbart svar (0)

Svar #20
22. oktober 2011 af Andersen11 (Slettet)

#19

To vektorer p og q er lineært uafhængige, hvis λ1p + λ2q = 0 ⇒ λ1 = 0 ∧ λ2 = 0 .

Man indser, at dimensionen af U er 2, så en basis for U skal indeholde 2 lineært uafhængige vektorer.


Forrige 1 2 Næste

Der er 30 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.