Matematik

Differentialligning hjælp!

27. februar 2012 af lalalalama (Slettet) - Niveau: A-niveau

I en model for dyrkning af en bestemt afgrøde på en mark kan sammenhængen mellem
høstudbyttet M (målt i ton) og mængden af tilført kunstgødning x (målt i kg) beskrives ved
differentialligningen

dM / dX = 0,000369*M*(15,50-M), 0<x<1000.

Det oplyses, at høstudbyttet er 13,1 ton, når der tilføres 400 kg kunstgødning.

a) Bestem en forskrift for M som funktion af x.
Salgsprisen for 1 ton af afgrøden er 700 kr., og 1 kg kunstgødning koster 1,97 kr.

b) Skitsér grafen for fortjenesten (målt i kr.) som funktion af x, og bestem den værdi af x,
der giver den største fortjeneste.

Kan huske at man bruger deSolve, nogen der kan fortælle mig hordan?

Brugbart svar (2)

Svar #1
27. februar 2012 af mathon

alment
dy/dx = a·y·(M-y) 0<y<M a,M∈R₊

har løsningen
y = M / (1+C·e^-a^·M^·x)

Svar #2
27. februar 2012 af lalalalama (Slettet)

Ser det korrekt ud indtil videre?

y=15,50/((1+C*e^(-0,000369*x)))

Brugbart svar (2)

Svar #3
27. februar 2012 af Andersen11 (Slettet)

Nej, du har ikke indsat korrekt i løsningen i #1.

Brugbart svar (2)

Svar #4
27. februar 2012 af x00 (Slettet)

#3 bliver det ikke:

y=15,50/(1+ce^{-0,000369*15,50*x}??

Brugbart svar (2)

Svar #5
27. februar 2012 af Andersen11 (Slettet)

Jo, det er korrekt; (med en afsluttende parentes til sidst).

Brugbart svar (2)

Svar #6
27. februar 2012 af x00 (Slettet)

#5 Hov, den glemte jeg.

Hvad gøre jeg herfra?

Brugbart svar (2)

Svar #7
27. februar 2012 af Andersen11 (Slettet)

Benyt den anden oplysning i opgaven til at fastlægge konstanten C .

Brugbart svar (2)

Svar #8
27. februar 2012 af x00 (Slettet)

Høstudbyttet er 13,1 ton, når der tilføres 400 kg kunstgødning.

M=13,1 og x=400.

skal jeg så sige:

y=15,50/(1+ce^{-0,000369*15,50*x}) ⇒

13,1=15,50/(1+ce^{-0,000369*15,50*400}) ??

Brugbart svar (2)

Svar #9
27. februar 2012 af Andersen11 (Slettet)

Ja, det er korrekt. Bestem nu konstanten c.

Brugbart svar (2)

Svar #10
27. februar 2012 af x00 (Slettet)

Deraf fås forskriften:

y=15,50/(1+1,82*e^{-0,000369*15,50x}) ?

Brugbart svar (2)

Svar #11
27. februar 2012 af x00 (Slettet)

#10 rettelse *1,81

Brugbart svar (2)

Svar #12
27. februar 2012 af Andersen11 (Slettet)

#11

Man finder

C = (13,1/15 -1)·e^{0,000369·15,50·400} = -1,248

Brugbart svar (2)

Svar #13
27. februar 2012 af x00 (Slettet)

#12
Når jeg solver den får jeg 1,81..

Svar #14
28. februar 2012 af lalalalama (Slettet)

Er forskriften så:

y=15,50/((1+1,81*e^(-0,000369*15,50*x) ) ) ?

Brugbart svar (2)

Svar #15
28. februar 2012 af Andersen11 (Slettet)

Rettelse til #12

Det skal være

C = (15,5/13,1 -1)·e^{0,000369·15,50·400} = 1,8052

hvorfor

y = 15,5 / (1 + 1,8052·e^{-0,000369·15,50·x})

Brugbart svar (2)

Svar #16
28. februar 2012 af x00 (Slettet)

#15 så vi enige!

Hvrodan løses opg b?

Brugbart svar (2)

Svar #17
28. februar 2012 af Andersen11 (Slettet)

#16

Opstil et udtryk for fortjenesten f(x) og find maksimum for denne funktion.

f(x) = 700·y - 1,97x

hvor y er løsningen i #15.

Skriv et svar til: Differentialligning hjælp!

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.