Matematik

Vektorer i rummet

09. april 2014 af chapperkapper (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hey peops..

På figuren ses planen α : 2x + y+ z = 0 og linjerne m og s, hvor
s er m’s projektion påα . A(2,1,5) er skæringspunktet mellem
m ogα , mens punktet B(3,−2,9) ligger på m.
Bestem en parameterfremstilling for s og vinklen v mellem
m og s.

Hvordan finder man parameterfremstillingen? Ved godt at planens normalvektor er (2,1,1) men når jeg skal indsætte i parameterfremstillingen er det jo retningsvektoren til linjen s jeg skal bruge, aner ikke lige hvordan jeg skal finde den???

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. april 2014 af mathon

$\overrightarrow{AB_{p}}=\overrightarrow{AB}-\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}}{\left |\vec{n} \right |^2}\cdot \vec{n}=\begin{pmatrix} 1\\-3 \\ 4 \end{pmatrix}-\frac{\begin{pmatrix} 1\\-3 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2\\1 \\ 1 \end{pmatrix}}{2^2+1^2+1^2}\cdot \begin{pmatrix} 2\\1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\-\frac{7}{2} \\ \frac{7}{2} \end{pmatrix}$

En mere bekvem retningsvektor r for s er
$\vec{r}=\begin{pmatrix} 0\\-7 \\ 7 \end{pmatrix}$

En parameterfremstilling for s
er således
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\cdot \vec{r}\; \; \; t\in \mathbb{R}$

$\begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\1 \\ 5 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 0\\-7 \\ 7 \end{pmatrix}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
09. april 2014 af mathon

Vinklen v mellem m og s er vinklen mellem AB og r

$\cos(v)=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \vec{r}}{\left |\overrightarrow{AB} \right |\cdot \left |\vec{r} \right |}=\frac{\begin{pmatrix} 1\\-3 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2\\1 \\ 1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+(-3)^2+4^2}\cdot \sqrt{2^2+1^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{26}\cdot \sqrt{6}}=$

$\frac{\sqrt{39}}{26}$

$v=\cos^{-1}\left (\frac{\sqrt{39}}{26} \right )=76,10^{\circ}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
09. april 2014 af Andersen11 (Slettet)

Se evt. denne tråd https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1464761 for samme opgave.

Bemærk i øvrigt, at punktet A som defineret ovenfor ikke ligger i den angivne plan α , som også bemærket i den anden tråd.

Brugbart svar (0)

Svar #4
09. april 2014 af mathon

A ligger ikke i den angivne plan α, hvilket jeg selvfølgelig burde have undersøgt forlods. Sorry!

Brugbart svar (1)

Svar #5
10. april 2014 af mathon

Andersen11's antagelse
$\alpha:\; \; 2x+y-z=0$
giver så
$\overrightarrow{AB_{p}}=\overrightarrow{AB}-\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}}{\left |\vec{n} \right |^2}\cdot \vec{n}=\begin{pmatrix} 1\\-3 \\ 4 \end{pmatrix}-\frac{\begin{pmatrix} 1\\-3 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2\\1 \\ -1 \end{pmatrix}}{2^2+1^2+\left (-1 \right )^2}\cdot \begin{pmatrix} 2\\1 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{8}{3}\\-\frac{13}{6} \\ \frac{19}{6} \end{pmatrix}$

En mere bekvem retningsvektor r for s er
$\vec{r}=\begin{pmatrix} 16\\-13 \\ 19 \end{pmatrix}$

En parameterfremstilling for s
er således
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\cdot \vec{r}\; \; \; t\in \mathbb{R}$

$\begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\1 \\ 5 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 16\\-13 \\ 19 \end{pmatrix}$

Brugbart svar (1)

Svar #6
10. april 2014 af mathon

Vinklen v mellem m og s er vinklen mellem AB og r

$\cos(v)=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \vec{r}}{\left |\overrightarrow{AB} \right |\cdot \left |\vec{r} \right |}=\frac{\begin{pmatrix} 1\\-3 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2\\1 \\ -1 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+(-3)^2+4^2}\cdot \sqrt{2^2+1^2+\left (-1 \right )^2}}=\frac{-5\cdot \sqrt{39}}{78}$

$\angle v_{stump}=\cos^{-1}\left (\frac{-5\sqrt{39}}{78} \right )=113,6^{\circ}$

med supplementvinklen
$\angle v_{spids}=180^{\circ}-113,6^{\circ}=66,4^{\circ}$

Svar #7
10. april 2014 af chapperkapper (Slettet)

Perfekt !!

Takker mange gange for de utrolige hjælpsomme svar :-)

Skriv et svar til: Vektorer i rummet

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.