Matematik

Taylorpolynomium og udviklingspunkt

01. maj 2014 af JogaBonito (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej.

Jeg sidder med denne opgave og sidder fast. En der kan hjælpe?

Beregn i hånden det 2. ordens Taylorpolynomium med udviklingspunk (0,0) for funktionen: $f(t,u)=\frac{\frac{}{}e^{2u}}{10+t^2}$

Brugbart svar (0)

Svar #1
01. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

Se denne tråd https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1474081 for en lignende opgave. Hvad har du problemer med her? Beregn de afledede af 1. og 2. orden og indsæt i definitionen for Taylorpolynomiet.

Svar #2
01. maj 2014 af JogaBonito (Slettet)

Så jeg regner først f(0,0) ud. -> $f(0,0)=\frac{e^{2*0}}{10+0^2}$

2. ∂f/∂u. --> $\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{2*e^{2*u}}{10+t^2}$ --> $\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{2*e^{2*0}}{10+0^2}=\frac{1}{5}$

3. ∂f/∂t. $\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{-2t*e^{2*u}}{(10+t^2)^2}$ --> $\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{-2*0*e^{2*0}}{(10+0^2)^2}=0$

4. ∂²f/∂u^{2 -->}

5. ∂²f/∂t² $\frac{\partial^2 f}{\partial^2 u}=\frac{8*t^2*e^{2*u}}{(10+t^2)^3}-\frac{2*e^{2*u}}{(10+t^2)^2}$ --> $\frac{\partial^2 f}{\partial^2 u}=\frac{8*0^2*e^{2*0}}{(10+0^2)^3}-\frac{2*e^{2*0}}{(10+0^2)^2}= -\frac{1}{50}$

Kan dette passe?

Brugbart svar (0)

Svar #3
01. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

Udregn f(0,0) .

Du kalder alt for enten ∂f/∂u eller ∂²f/∂u² ? Du mangler også ∂²f/∂t∂u . De øvrige værdier ser rigtige ud med signaturforklaringerne til venstre.

Svar #4
01. maj 2014 af JogaBonito (Slettet)

$f(0,0)=\frac{1}{10}$ .

Jeg har regnet for u og t? Så jeg kan ikke se hvor jeg kalder alt for ∂f/∂u eller ∂²f/∂u².

Når man skal differentiere ∂²f/∂t∂u skal man:

∂²f/∂t∂u= ∂²f/ nr. 2 * nr. 3 ?

Brugbart svar (0)

Svar #5
01. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

I de formler i #2, du har indsat med ligningsressourcen, hedder alle de afledede enten ∂f/∂u eller ∂²f/∂u², derfor min kommentar.

Beregn ∂²f/∂t∂u = ∂/∂u(∂f/∂t) = ∂/∂t(∂f/∂u) (vælg en af de to).

Svar #6
01. maj 2014 af JogaBonito (Slettet)

Ahh, det har du ret i.

Hvis jeg vælger ∂/∂u(∂f/∂t):

∂/(2*e^2*u/10+t²)*∂f/(-2t*e^2*u/10+t²)²) ?

Svar #7
01. maj 2014 af JogaBonito (Slettet)

Er det sådan eller?

Brugbart svar (0)

Svar #8
01. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

Nej. Du skal differentiere udtrykket for ∂f/∂t nu med hensyn til u.

Svar #9
01. maj 2014 af JogaBonito (Slettet)

Det vil altså sige :

∂/∂u(∂f/∂t)= (-4t*e^2*u)/(10+t²)²= -1/25

Brugbart svar (0)

Svar #10
01. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

Nej det er ikke rigtigt. Man har

∂f/∂t = -e^2u·2t/(10+t²)²

og det skal så differentieres m.h.t. u , så man får

∂²f/∂u∂t = ∂²f/∂t∂u = -4t·e^2u/(10+t²)²

Edit: Nå, nu fik du rettet på det oprindelige udtryk. Nu skal du så beregne værdien af denne afledede i (0,0). Din talværdi er forkert.

Svar #11
01. maj 2014 af JogaBonito (Slettet)

Min talværdi? Altså -1/25?

Brugbart svar (0)

Svar #12
01. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

#11

Ja, talværdien er forkert.

Svar #13
01. maj 2014 af JogaBonito (Slettet)

Jeg kan ikke se hvorfor det ikke skal være -1/25? :)

Brugbart svar (0)

Svar #14
01. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

#13

Jeg kan slet ikke se, hvorfor den skulle være -1/25. Vis din fremgangsmåde og dine mellemregninger.

Svar #15
01. maj 2014 af JogaBonito (Slettet)

Skal jeg nu indsætte i den generelle formel?

$\widetilde{f}_{2}(t,u)=f(a,b)+\tfrac{\partial f}{\partial t}(a,b)(t-a)+\frac{\partial f}{\partial u}(a,b)*(u-b)+\frac{1}{2}*\frac{\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}(a,b)*(t-a)^{2}+\frac{\partial ^{2} f}{\partial u\partial t}(a,b)*(t-a)(u-b)+\frac{1}{2}*\frac{\partial ^{2}f}{2\partial u^{2}}(a,b)*(u-b)^{2}$

Svar #16
01. maj 2014 af JogaBonito (Slettet)

-4*1/ 100 = (-4)/100 = -1/25

Brugbart svar (0)

Svar #17
01. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

#15

Ja. Du ville altså ikke vise, hvordan du kom frem til din værdi for ∂²f/∂u∂t(0,0) ?

Svar #18
01. maj 2014 af JogaBonito (Slettet)

Hvad er det præcist jeg gør galt?

Brugbart svar (0)

Svar #19
01. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

#18

Jeg kan jo ikke sige præcist, hvad du gør galt, når du ikke vil vise dine mellemregninger. Men du har ikke beregnet ∂²f/∂u∂t(0,0) korrekt. Man indsætter t = 0 og u = 0 i udtrykket for

∂²f/∂u∂t = ∂²f/∂t∂u = -4t·e^2u/(10+t²)²

Svar #20
01. maj 2014 af JogaBonito (Slettet)

Jeg har spottet fejlen.

-4*0·e^2*0/(10+0²)²= 0/100 = 0

Forrige 1 2 Næste

Der er 27 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.