Matematik

Potensfunktion uden hjælpemidler

30. maj 2014 af hioghi (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej.

Der er lige noget, jeg ikke helt kan huske med en opgave, som denne her:

En funktion f er af typen f(x)=b*x^a, og der gælder, at f(2)=4 og f(4)=64

Bestem tallene a og b.

- hvordan var det nu liiige, man kunne bestemme tallene a og b med logaritmen uden hjælpemidler??

Brugbart svar (0)

Svar #1
30. maj 2014 af mathon

$\frac{y_2}{y_1}=\left ( \frac{x_2}{x_1} \right )^a$

$\frac{64}{4}=\left ( \frac{4}{2} \right )^a$

2^4=2^a

a=4

Brugbart svar (0)

Svar #2
30. maj 2014 af SuneChr

Løs
4 = b·2^a
64 = b·4^a

Brugbart svar (0)

Svar #3
30. maj 2014 af Thatsme123 (Slettet)

Eftersom det er uden hjælpemidler, kan du ikke benytte logaritmen. Derimod kan du bruge "de store koefficienters metode", der går på, at du sætter dine informationer ind og dividerer dem, altså:

y = b*x ^a

64 = b*4 ^a
4 = b*2 ^a

Ligningerne divideres:

64/4 = (4/2) ^a
16 = (2) ^a
2^4 = 2 ^a

hvoraf,
a = 4, hvilket
giver
y = b*x ^a
og
b = y/x ⁴ = 4/2 ⁴ = 4/16 = 1/4

Konlusion:
y = (1/4)*x ⁴

Brugbart svar (0)

Svar #4
30. maj 2014 af mathon

#1 fortsat

$b=\frac{y}{4^x}$

$b=\frac{4}{4^2}=4^{-1}$

$f(x) = y=4^{-1}\cdot 4^{x}=4^{x-1}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
30. maj 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det er da stadig tilladt at bruge logaritmer ved bestemmelsen af a:

$a=\frac{\log \frac{y_{2}}{y_{1}}}{\log \frac{x_{2}}{x_{1}}}=\frac{\log \frac{64}{4}}{\log \frac{4}{2}}=\frac{\log 16}{\log 2}=\frac{\log 2^{4}}{\log 2}=\frac{4\cdot \log 2}{\log 2}=4$

Svar #6
31. maj 2014 af hioghi (Slettet)

Men hvorfor skriver man 64/4 = (4/2)^a? Altså hvorfor opløfter man ikke 64/4 i a, og man gør det kun på den ene side af lighedstegnet?

Brugbart svar (0)

Svar #7
31. maj 2014 af mathon

fordi
y = b • x^a som ved in dsættelse af to kendte punkter (x₁,y₁) og (x₂,y₂)

         giver
                        y₂ = b • x₂^a
                        y₁ = b • x₁^a
Divideres øverste ligning med nederste ligning
fås:
                         y₂/y₁ = (x₂/x₁)^a   Man dividerer to potenser med samme eksponent
                                                   ved at beholde eksponenten og dividere rødderne.

Skriv et svar til: Potensfunktion uden hjælpemidler

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.