Differentialregning bevis hjælp

Funktionen f(x) = 1/x er defineret i ]-∞;0[ ∪ ]0;∞[ .

Se svar #4 i denne tråd https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1488345#1488371 for en definition for differentiabilitet af en funktion (tre-trinsreglen).

For at vise, at funktionen f(x) = 1/x er differentiabel i ethvert punkt i sin definitionsmængde, vælger man et x₀ ≠ 0 og opstiller differenskvotienten med udgangspunkt i x₀:

Sætning: funktionen , givet ved f(x)=1/x. Er differentiable på hele dens definitionsmængde, med den afledte f'(x)=-1/x².

Bevis: f(x) er differentiable i x_o, såfremt at grænseværiden for differenskvotienten eksitere i x_o. dvs.

Denne grænseværdi eksitere entydigt, såfremt at x0≠0, og er -1/(x_o)². Hvorfor at f(x) er differentiable, med f'(x)=-1/(x)² for alle x tilhørende ]-∞,0[ U ]0,∞[, hvilket vil sige for alle x i f(x)'s definitionsmængde.

Funktionen f(x) = 1/x er kontinuert for ethvert x ∈ R\{0}. For at lave en sætning, kan du starte med at bevise den afledede funktion. Så opsummerer du det meget kort som en sætning, der ikke indeholder bevis, men kun informationer.

Tusind tak for indlæggende. Hvad så med sætningen for kvotient og produktfunktion, det må vel gælde i intervallet [0;uendelig[

Jeg er i tvivl over kontinuitetsbegrebet. Hvis vi kigger på g(x0) og vi lader h gå mod 0, så vil den forblive g(x0), fordi den ikke afhænger af h. Men i videoen siger han, at det skyldes den er kontinuer og differentiabel i x0? Hvorfor gør det det? (I må gerne forklare pædagogisk) 

#5

Prøv at forklare, hvad g er. Du omtaler en video?

Produkt. Hvis funktionerne f(x) og g(x) er differentiable i x₀, er funktionen h(x) = f(x)·g(x) differentiabel i x₀ med differentialkvotient

        .

Kvotient. Hvis funktionerne f(x) og g(x) er differentiable i x₀, og g(x0) ≠ 0 , er funktionen h(x) = f(x) / g(x) differentiabel i x₀ med differentialkvotient

         .

Hvad vil det sige, at g(x0) som er en funktionsværdi til punktet x0 er kontinuer? Forstår ikke sammenhængen mellem kontinuitet og differentiabilitet 

#7

Man kan tale om, at en funktion g(x) er kontinuert i et punkt x₀. Din formulering er ikke anbefalelsesværdig.

Hvis en funktion g(x) er kontinuert for ethvert x₀ i sin definitionsmængde, siger vi, at funktionen g(x) er kontinuert på hele definitionsmængden, eller blot at g(x) er kontinuert.