Differentiabel funktion

En funktion siges at være klat, hvis samtlige afledte af funktionen eksitere og de alle er kontinuerte på dens definitions mængde.

Så det er lidt cirkler argumentation, at definere diffentiablitet ved denne egenskab. Hvorfor det er en slet definition.

#0

Glat er her et kvalitativt udtryk, der løst sagt betyder, at der ikke er knæk på grafen. Der er tale om en populær forklaring for, hvad det vil sige at være differentiabel for en funktion: dens graf er sammenhængende og uden knæk.

Hej 

Jeg tænkte nemlig også, at det er en "populær forklaring". Men hvad er så den "matematiske forklaring" altså med matematiske termer? Det er lidt trælst, at bogen ikke nævner det. 

#3

Den matematiske forklaring på, at en funktion f(x) er differentiabel i et punkt x₀ involverer den såkaldte tre-trinsregel.

1) Man opskriver differenskvotienten for f(x) med udgangspunkt i x₀ og med tilvækst h:

2) Man undersøger, om der findes en grænseværdi for differenskvotienten Δf/h for h → 0 .

3) Hvis grænseværdien eksisterer, siger vi, at funktionen f(x) er differentiabel i x₀ , og grænseværdien kaldes funktionens differentialkvotient i x₀, hvilket betegnes med f '(x₀) .

Og hvis funktionen f(x) er differentiabel i alle x i definitionsmængden for f, så er funktionen differentiabel? 

Jeg vidste ikke, at det "bare" er det, for det er så tit, at folk snakker om kontinuerte funktioner og om hvor vidt de er differentiable. (jeg ved godt, at en funktion der er differentiabel og så kontinuert, og at det ikke gælder modsat) 

#5

Ja, det er korrekt.

Jeg har lige et sidste spørgsmål :-)

Jeg er godt klar over, at f(x)=IxI ikke er differentiabel i x=0, fordi man ikke kan finde en entydig tangent i punktet svarende til x=0. Men hvordan argumenterer jeg for, at den ikke er differentiabel ud fra den givne definition på differentialkvotient? 

#7

Se på differenskvotienten for f(x) = |x| med udgangspunkt i x₀ = 0 :

Grænseværdien for h → 0 findes derfor ikke, og dermed er funktionen f(x) = |x| ikke differentiabel i 0 .

 Tusind tak :-)