Punktvis konvergens af række

06. juni 2014 af ma1908 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg er lidt i tvivl om hvordan man afgør punktvis konvergens, når man snakker om rækker?

Hvis jeg for eksempel skal vise at rækken

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{1+x^2n^2}$

er punktvis konvergent?

Håber nogen kan hjælpe med afklaring!

Brugbart svar (0)

Svar #1
06. juni 2014 af Andersen11 (Slettet)

For x = 0 har man ∑^∞_n=1 x/(1+x²n²) = 0 .

For x ≠ 0 har man

|∑^∞_n=1 x/(1+x²n²)| = |x|·|∑^∞_n=1 1/(1+x²n²)| ≤ |x|·∑^∞_n=1 1/(1+n²) ≤ |x|·∑^∞_n=1 1/n² = |x|·π²/6 .

Brugbart svar (0)

Svar #2
06. juni 2014 af peter lind

#1 Der gælder kun at 1/(1+x²*n²) ≤ 1/(1+n²) for x≥1

Brugbart svar (0)

Svar #3
06. juni 2014 af Andersen11 (Slettet)

Ja, det er da korrekt. Jeg havde egentlig en anden slutning i tankerne, da jeg skrev det, nemlig, for x ≠ 0,

|∑^∞_n=1 x/(1+x²n²)| = |x|·|∑^∞_n=1 1/(1+x²n²)| ≤ |x|·|∑^∞_n=1 1/(x²n²)| = (1/|x|)·∑^∞_n=1 1/n² = (1/|x|)·π²/6

Svar #4
06. juni 2014 af ma1908 (Slettet)

Mange tak!

Skriv et svar til: Punktvis konvergens af række

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.