Arealet

oops

D er den halve cirkelring   1 ≤ r ≤ 2 , med x ≥ 0 , så

        A(D) = (1/2)·π·(2² - 1²) = 3π/2

#2

Det ser ret let ud end jeg havde troet. I min gamle note, som jeg desværre ikke kan forstå helt, stod der følgende

D = { r(cosθ,sinθ) | (r, θ) ∈ [1, 2] × [- π/2, π/2] } = φ([1, 2] × [- π/2, π/2]),

hvor φ(r,θ) = r(cosθ,sinθ), defineret på (0, 3) × (-3π/4, 3π/4) er en diffeomorfi på sit billede. 

Dernæst har man

 ∫_D dA = ∫_{φ([1, 2] × [- π/2, π/2] )}dA = ∫_{[1, 2] × [- π/2, π/2]} det(Dφ) dA = ₁∫²_-π/2∫^π/2 r dθdr = 3π/2.

Her er det(Dφ) en determinant for Jacobimatricen af φ.

Jeg forstår ikke hvordan mængden D skal omskrives på den måde i forhold til den vedlagte fil og hvorfor man netop skal benytte det, når fremgangsmåden tager længere tid. På den fede tekst, forstår jeg det heller ikke helt. Jeg ved godt hvad en diffeomorfi er.

#3

Det er jo D udtrykt helt i polære koordinater. φ bliver defineret på (0, 3) × (-3π/4, 3π/4) så man kan tale om billedet af en afsluttet delmængde [1, 2] × [- π/2, π/2] af definitionsmængden.