Kugle K

Brug dist-formlen og udregn afstanden fra centrum C (2,-1,1) til linjen L. Er afstanden lig med kuglens radius er L tangent til K. 

#0

Kuglens radius er ikke lig med 7, men √42 .

Undersøg, om linien har 0, 1, eller 2 skæringspunkter med kuglen, dvs. ved at undersøge fortegnet for skæringsligningens diskriminant. Hvis diskriminanten er lig med 0, er der netop 1 skæringspunkt, og linien vil da være en tangent til kuglen.

#2 

Vil du sige, at den fremgangsmåde er nemmere end den beskrevet i #1? 

#3

Ja, det vil jeg, for man skal i #1 først udlede et udtryk for afstanden fra et punkt (kuglens centrum) til linien givet ved parameterfremstillingen i 3 dimensioner.

#2

Er der en formel til det? 

Man kan beregne afstanden fra et punkt C til en linie givet ved parameterfremstillingen

        OP = OQ + t·r , t ∈ R ,

hvor Q er et fast punkt på linien og r er en retningsvektor for linien, ved at finde minimum for afstandskvadratet

        |CP|² = |OQ + t·r|² = t²·|r|² + 2t·(OQ•r) + |OQ|²

der er et 2.-gradspolynomium i t, og man finder dette minimum til

        |CP|_min² = |OQ|² - (OQ•r)²/|r|²

Benytter man opgavens oplysninger, OQ = [-8;2;-3] og r = [-5;7;-3] har man

         |CP|_min² = (-8)² + 2² + (-3)² - (8·5+2·7+3·3)²/((-5)²+7²+(-3)²)

                     = 64 + 2 + 9 - (40+14+9)²/(25+49+3)

                     = 77 - 63²/83 = 77 - 3969/83 = 2422/83 < 42

så denne fremgangsmåde (#1) er måske alligevel hurtigere.

#1

Hvordan skal vi udregne svaret via metoden i #1?

dist(a,P(x,y,z)) = l ax0 + by0 + cz0 + d l /kvadratrod a^2+b^2+c^2 ?

#7

Det er gennemgået i #6.

Der var desværre en fejl i #6. Den korrigerede udgave kommer her

Man kan beregne afstanden fra et punkt C til en linie givet ved parameterfremstillingen

        OP = OQ + t·r , t ∈ R ,

hvor Q er et fast punkt på linien og r er en retningsvektor for linien, ved at finde minimum for afstandskvadratet

        |CP|² = |CQ + t·r|² = t²·|r|² + 2t·(CQ•r) + |CQ|²

der er et 2.-gradspolynomium i t, og man finder dette minimum til

        |CP|_min² = |CQ|² - (CQ•r)²/|r|²

Benytter man opgavens oplysninger, CQ = [-10;3;-4] og r = [-5;7;-3] har man

         |CP|_min² = (-10)² + 3² + (-4)² - (10·5+3·7+4·3)²/((-5)²+7²+(-3)²)

                     = 100 + 9 + 16 - (50+21+12)²/(25+49+3)

                     = 125 - 83²/83 = 125 - 83 = 42

hvorfor linien er tangent til kuglen.

Ligningen for skæring mellem kuglen

        (x-2)² + (y+1)² + (z-1)² = 42

og linien med parameterfremstillingen

        [x,y,z] = [-8;2;-3] + t·[-5;7;-3]

bliver så

        (-8-5t-2)² + (2+7t+1)² + (-3-3t-1)² = 42 ,

        (5t+10)² + (7t+3)² + (3t+4)² = 42 ,

        25t² + 100t + 100 + 49t² + 42t + 9 + 9t² + 24t + 16 = 42 , eller

        83t² + 166t + 83 = 0 , eller

        (t+1)² = 0 ,

dvs. dobbeltløsning, og diskriminanten er lig med 0.

#10

Er det en anden mulighed at løse opgaven på? 

Den er nemlig meget mere forståelig. 

#11

Ja, i #10 benyttes metoden beskrevet i #2, som du selv lagde op til i #0.

I #9 benyttes metoden beskrevet i #1.

Okay. Tak

#11

   måske kan nedenstående bedre forståelsen af #9

se