Matematik

Konveks

25. august 2014 af UkendtMat (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hvorfor gælder uligheden?

Vedhæftet fil: image.jpg

Brugbart svar (1)

Svar #1
25. august 2014 af skyri (Slettet)

Det ses ud fra din tegning

${\color{Red} f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2)} > {\color{Green} \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)}, \quad \forall \lambda \in (0,1)$

Brugbart svar (1)

Svar #2
25. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

En funktion f(x) er konveks, hvis der gælder, at grafen for f(x) i ethvert interval [x₁;x₂] ligger under korden gennem punkterne (x₁;f(x₁)) og (x₂;f(x₂)) , altså hvis det for ethvert x ∈ [x₁;x₂] gælder, at

f(x) ≤ (x - x₁)·(f(x₂) - f(x₁))/(x₂ - x₁) + f(x₁) .

Sætter man

λ = (x₂-x) / (x₂-x₁)

har man

x = x₂ - λ·(x₂ - x₁) = λ·x₁ + (1-λ)·x₂ ,

og betingelsen for konveksitet kan derfor skrives

f(λ·x₁ + (1-λ)·x₂) ≤ (1-λ)·(f(x₂) - f(x₁)) + f(x₁) = λ·f(x₁) + (1-λ)·f(x₂) .

Uligheden er et specialtilfælde af Jensens ulighed for konvekse funktioner.

Hvis uligheden ikke gælder, er funktionen ikke konveks.

Svar #3
26. august 2014 af UkendtMat (Slettet)

Mange tak!

Skriv et svar til: Konveks

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.