Benyt f'(x) til at argumentere for grafens forløb

Nej, det er ikke korrekt. Den afledede funktion f '(x) er et 2.-gradspolynomium, hvis graf er en parabel, der vender grenene opad. Funktionen er derfor positiv uden for rødderne og negativ mellem rødderne, dvs.

        f '(x) > 0 for -∞ < x < -1    (f er voksende her)

        f '(x) < 0 for -1 < x < 3      (f er aftagende her)

        f '(x) > 0 for 3 < x < ∞       (f er voksende her).

Funktionen f har lokalt maksimum for x = -1 , og f har lokalt minimum for x = 3.

#0

Det er i øvrigt noget vrøvl at skrive, at nulpunkterne er der, hvor x-aksen skærer x-aksen.

Tak, Andersen, jeg er stadig i gang med at lære det, og det tager lidt tid for mig at forstå det

Jeg har lige prøvet med et et andet eksempel

Benyt f'(x) til at argumentere for grafens forløb

f(x)=1/3x³-x²

f'(x)=3*1/3x^3-1-2*x^2-1

f'(x)=x²-2x

f'(x)=x²-2x=0

x=0 v x=2

Nulpunkter (0,0) og (2,0)

f'(x) er voksende i [2,∞]

f'(x) er aftagende i  [1,∞]

f'(x) er voksende i [-1,∞]

#3

Det er ikke helt rigtigt.

        f '(x) er positiv i ]2;∞[ , og f(x) er derfor voksende her

        f '(x) er negativ i ]0;2[ , og f(x) er derfor aftagende her

        f '(x) er positiv i ]-∞;0[ , og f(x) er derfor voksende her.

Funktionen har lokalt maksimum i x = 0 , og lokalt minimum i x = 2.

f(x)=1/4x⁴-x³+3/4

f'(x)=x³-3x²

x=3 og x=0

Funktionen har lokalt minimum i x=3 og x=0

f'(x) er negativ i ]3,0[ og f(x) er aftagende her

f'(x) er positiv i [4,∞[ og f(x) er voksende her

f'(x) er negativ i [-1,∞[

Jeg har intet problem med at differentiere

Der kommer først problemer, når jeg skal lave intervallerne, som jeg gentagne gange laver fejl i.

#5

Nej, men du har problemer med at lave en fortegnsundersøgelse for f '(x) .

Hvor kommer tallene 4 og -1 i din fortegnsundersøgelse fra??

Man har:

f '(x)            -               0           -       0             +        
------------------------------|-----------------|-------------------->
x                                 0                    3

Funktionen har lokalt minimum for x = 3, og grafen for f(x) har en vandret vendetangent for x = 0.

Funktionen f(x) er aftagende i intervallet ]-∞;3[  .

Funktionen f(x) er voksende i intervallet ]3;∞[ .

#6

Det lokale minimumspunkt for x = 3 er faktisk også globalt minimumspunkt for funktionen f(x) .

Så har jeg prøvet at lave en monotonilinje.

En funktion er bestemt ved f(x):=0.5x^2-5.5x+6.ln(x)+8, hvor x > 0

Benyt differentialligning til at argumentere for grafens forløb.

f'(x)=x-5,5+6/x

f'(x)=x*(x-5,5+6/x)

f'(x)=x²-5,5x+6

x=4 v x=1,5

f'(x)     +         0      -        0       +

------------------------------------------------

x                   1,5             4

Voksende i intervallet ]∞,1,5]

Aftagende i intervallet [1,5,4]

Voksende i intervallet [4,∞[

#8

Funktionen er korrekt differentieret med

        f '(x) = x - 5,5 + 6/x .

derefter er det forkert at skrive

        f '(x) = x*(x-5,5+6/x) .

Det er korrekt, at ligningen f '(x) = 0 , x > 0 er ensbetydende med ligningen  x² - 5,5x + 6 = 0 , x > 0 .

Monotoniundersøgelsen er ikke helt korrekt. Funktionen f(x) er kun defineret for x > 0 .Funktionen f(x) er derfor voksende i intervallet ]0;1,5[ , aftagende i intervallet ]1,5;4[ og voksende i intervallet ]4;∞[ .

Man angiver også, om der er lokale ekstrema. Funktionen f(x) har lokalt maksimum i x = 1,5 , og lokalt minimum i x = 4 . Det er bedst at bruge ; som separator i intervaller, så det ikke forveksles med decimalkommaet.

Man bør også undersøge, om funktionens graf har vendetangent noget sted. Dertil løser man ligningen
f ''(x) = 0 .