Z^2

1) -4 = (2i)² , så z² - (-4) = z² - (2i)² = (z+2i)(z-2i) = 0

Generelt

        z² = w = r·e^iθ = (r^1/2·e^iθ/2)²

så

        z = ±r^1/2·e^iθ/2 , dvs    z = r^1/2·e^iθ/2 eller z = r^1/2·e^i(θ/2+π)

W skal omskrives til polær form. I den første opgave er det 4*e^πi+2pπ Løsningerne finder du ved at finde kvadratroden af r her 4 og dividere eksponenten med 2 Du får en løsning for p =0 og en anden for p=1

Derefter omskrives den til rektangulær form

jeg får den første 

2e^i((π/2) +pπ 

og når jeg sætter p=0 og p=1 får jeg ikke 2i og -2i som jeg burde :-/

#3

Det gør man nu altså

        2·e^{i·(π/2 + 0π)} = 2·e^i·π/2 = 2·i

        2·e^{i·(π/2 + π)} = 2·e^i·π/2 · e^iπ = 2·e^i·π/2 · (-1) = -2·e^i·π/2 = -2·i

I opgave 2 passer mine udregninger, og opgave 1 kunne jeg regne ud var -2i. 

Den sise fik jeg til z = 1 med p=0 og z= -1 med p=1

Der er så en anden opgave som minder om. Den ser bare lidt anderledes ud. 

Opgave 1, hvor man skal finde |w| og arg(w) passer mine udregniner med facit.

Jeg kan dog ikke se en sammenhæng i opgave 2. 

#5

I Opg 3 kan man også skrive løsningerne eksakt, idet

Nu forstår jeg :)

 Jeg har løst:

1. e^z= 1 til i(p2π)

2. e^z=i  til i((π/2)+p2π)

3. Jeg står af her: Hvordan kan løse e^z= e ? 

#8

Ved ligningen   e^z = e    kan man benytte, at

        1 = e^i·2πp , p ∈ Z .

Man skal altså løse ligningen

        e^z = e¹ · e^i·2πp = e^1+i·2πp , p ∈ Z

der har løsningen

        z = 1 + i·2πp , p ∈ Z  .