Matematik

Giv en gennemgang af regneregler, der gælder for ubestemte integraler, herunder skal regnereglen for integration ved substitution bevises.

15. juni kl. 17:00 af SkolleNørd - Niveau: B-niveau

Hej

Er der nogle, dder kan komme med beviset till integration ved sibtitution?

Jeg kan ikke finde nogle korrekte beviser på youtube indtil videre.

"Gennemgang af regneregler, der gælder for ubestemte, integraler, herunder skal regnereglen for intragration ved subtitution besvises)


Brugbart svar (0)

Svar #1
15. juni kl. 17:24 af StoreNord


Brugbart svar (0)

Svar #2
15. juni kl. 19:35 af mathon

\begin{array}{lllllll} \textup{Der g\ae lder:}\\&& \left (F(g(x)) \right ){}'=F{\, }'(g(x))\cdot g{\, }'(x)=f(g(x))\cdot g{\, }'(x)\\ \textup{og dermed:}\\&&\int \left (F(g(x)) \right ){}'\mathrm{d}x=\int f(g(x))\cdot g{\, }'(x)\mathrm{d}x\\\\&&F(g(x))+k=\int f(g(x))\cdot g{\, }'(x)\mathrm{d}x\\\\\textup{hvoraf:}\\\\&&\int_a^b f(g(x))\cdot g{\, }'(x)\mathrm{d}x=F(g(b))-F(g(a))\\\\\textup{som med:}\\\\&&u=g(x)\quad \alpha=g(a)\quad \beta=g(b)\quad \mathrm{d}u=g{\, }'(x)\mathrm{d}x \\\\\textup{giver:} \\&&\int_{\alpha}^{\beta} f(u)\mathrm{d}u=F(\beta)-F(\alpha) \end{}


Svar #3
15. juni kl. 20:35 af SkolleNørd

#2

\begin{array}{lllllll} \textup{Der g\ae lder:}\\&& \left (F(g(x)) \right ){}'=F{\, }'(g(x))\cdot g{\, }'(x)=f(g(x))\cdot g{\, }'(x)\\ \textup{og dermed:}\\&&\int \left (F(g(x)) \right ){}'\mathrm{d}x=\int f(g(x))\cdot g{\, }'(x)\mathrm{d}x\\\\&&F(g(x))+k=\int f(g(x))\cdot g{\, }'(x)\mathrm{d}x\\\\\textup{hvoraf:}\\\\&&\int_a^b f(g(x))\cdot g{\, }'(x)\mathrm{d}x=F(g(b))-F(g(a))\\\\\textup{som med:}\\\\&&u=g(x)\quad \alpha=g(a)\quad \beta=g(b)\quad \mathrm{d}u=g{\, }'(x)\mathrm{d}x \\\\\textup{giver:} \\&&\int_{\alpha}^{\beta} f(u)\mathrm{d}u=F(\beta)-F(\alpha) \end{}

Kan du evt. hjælpe med at besvare følgende opgave 


Brugbart svar (0)

Svar #4
16. juni kl. 03:19 af MentorMath

#3

Undlad at stille samme spørgsmål i to forskellige tråde (https://www.studieportalen.dk/information/terms/forumthread), men spørg hellere om en uddybende forklaring i din oprindelige tråd.

Se i stedet tråden: https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=2091980, 

og spørg igen, hvis du har brug for en mere dybdegående forklaring.

Hvis ikke du finder min forklaring tilstrækkelig, og at du derfor spørger igen, er der helt sikkert en af de andre hjælpere, som vil supplere derinde, såfremt at du efterspørger det. Så længe at du ikke stiller yderligere spørgsmål, kan ikke andet antages, end at første forklaring giver mening :)


Brugbart svar (0)

Svar #5
23. juni kl. 09:52 af mathon

Bemærk:
                    Anvendelse af integration med substitution 
                    kræver integranden på formen
                                                                         f({\color{Red} g(x)})\cdot {\color{Red} g}{\, }'(x)

Eksempel:

                         \int \frac{1}{\sin^3(x)}\cos(x)\mathrm{d}x

Her sættes
                         u=\sin(x)
og dermed
                         \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=\cos(x)\,\Rightarrow\; \cos(x)\cdot \mathrm{d}x=\mathrm{d}u

hvoraf
                         \int \frac{1}{\sin^3(x)}\cos(x)\mathrm{d}x=\int \frac{1}{u^3}\cdot \mathrm{d}u=\int u^{-3}\mathrm{d}u=-\frac{1}{2}\cdot u^{-2}+k


Brugbart svar (0)

Svar #6
23. juni kl. 10:27 af mathon

og
                         \int_{a}^{b} \frac{1}{\sin^3(x)}\cos(x)\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}\cdot \left ( \sin^{-2}\left ( b \right ) - \sin^{-2}\left ( a \right )\right )

                                           


Skriv et svar til: Giv en gennemgang af regneregler, der gælder for ubestemte integraler, herunder skal regnereglen for integration ved substitution bevises.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.