Matematik

Giv en gennemgang af regneregler, der gælder for ubestemte integraler, herunder skal regnereglen for integration ved substitution bevises.

15. juni 2024 af SkolleNørd - Niveau: B-niveau

Hej

Er der nogle, dder kan komme med beviset till integration ved sibtitution?

Jeg kan ikke finde nogle korrekte beviser på youtube indtil videre.

"Gennemgang af regneregler, der gælder for ubestemte, integraler, herunder skal regnereglen for intragration ved subtitution besvises)

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. juni 2024 af StoreNord

Google is your friend
https://www.youtube.com/watch?v=WmJ2I2HCckE&ab_channel=MartinPatrongHaspang

Brugbart svar (0)

Svar #2
15. juni 2024 af mathon

$\begin{array}{lllllll} \textup{Der g\ae lder:}\\&& \left (F(g(x)) \right ){}'=F{\, }'(g(x))\cdot g{\, }'(x)=f(g(x))\cdot g{\, }'(x)\\ \textup{og dermed:}\\&&\int \left (F(g(x)) \right ){}'\mathrm{d}x=\int f(g(x))\cdot g{\, }'(x)\mathrm{d}x\\\\&&F(g(x))+k=\int f(g(x))\cdot g{\, }'(x)\mathrm{d}x\\\\\textup{hvoraf:}\\\\&&\int_a^b f(g(x))\cdot g{\, }'(x)\mathrm{d}x=F(g(b))-F(g(a))\\\\\textup{som med:}\\\\&&u=g(x)\quad \alpha=g(a)\quad \beta=g(b)\quad \mathrm{d}u=g{\, }'(x)\mathrm{d}x \\\\\textup{giver:} \\&&\int_{\alpha}^{\beta} f(u)\mathrm{d}u=F(\beta)-F(\alpha) \end{}$

Svar #3
15. juni 2024 af SkolleNørd

#2
$\begin{array}{lllllll} \textup{Der g\ae lder:}\\&& \left (F(g(x)) \right ){}'=F{\, }'(g(x))\cdot g{\, }'(x)=f(g(x))\cdot g{\, }'(x)\\ \textup{og dermed:}\\&&\int \left (F(g(x)) \right ){}'\mathrm{d}x=\int f(g(x))\cdot g{\, }'(x)\mathrm{d}x\\\\&&F(g(x))+k=\int f(g(x))\cdot g{\, }'(x)\mathrm{d}x\\\\\textup{hvoraf:}\\\\&&\int_a^b f(g(x))\cdot g{\, }'(x)\mathrm{d}x=F(g(b))-F(g(a))\\\\\textup{som med:}\\\\&&u=g(x)\quad \alpha=g(a)\quad \beta=g(b)\quad \mathrm{d}u=g{\, }'(x)\mathrm{d}x \\\\\textup{giver:} \\&&\int_{\alpha}^{\beta} f(u)\mathrm{d}u=F(\beta)-F(\alpha) \end{}$

Kan du evt. hjælpe med at besvare følgende opgave

Vedhæftet fil:DFE85A26-2D3D-4FD4-9341-B8DD403E715A_4_5005_c.jpeg

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. juni 2024 af Amatøren

Undlad at stille samme spørgsmål i to forskellige tråde (https://www.studieportalen.dk/information/terms/forumthread), men spørg hellere om en uddybende forklaring i din oprindelige tråd.

Se i stedet tråden: https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=2091980,

og spørg igen, hvis du har brug for en mere dybdegående forklaring.

Hvis ikke du finder min forklaring tilstrækkelig, og at du derfor spørger igen, er der helt sikkert en af de andre hjælpere, som vil supplere derinde, såfremt at du efterspørger det. Så længe at du ikke stiller yderligere spørgsmål, kan ikke andet antages, end at første forklaring giver mening :)

Brugbart svar (0)

Svar #5
23. juni 2024 af mathon

Bemærk:
Anvendelse af integration med substitution
kræver integranden på formen
$f({\color{Red} g(x)})\cdot {\color{Red} g}{\, }'(x)$

Eksempel:

$\int \frac{1}{\sin^3(x)}\cos(x)\mathrm{d}x$

Her sættes
$u=\sin(x)$
og dermed
$\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=\cos(x)\,\Rightarrow\; \cos(x)\cdot \mathrm{d}x=\mathrm{d}u$

hvoraf
$\int \frac{1}{\sin^3(x)}\cos(x)\mathrm{d}x=\int \frac{1}{u^3}\cdot \mathrm{d}u=\int u^{-3}\mathrm{d}u=-\frac{1}{2}\cdot u^{-2}+k$

Brugbart svar (0)

Svar #6
23. juni 2024 af mathon

og
$\int_{a}^{b} \frac{1}{\sin^3(x)}\cos(x)\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}\cdot \left ( \sin^{-2}\left ( b \right ) - \sin^{-2}\left ( a \right )\right )$

Brugbart svar (0)

Svar #7
25. juli 2024 af mathon

Eksempel 2:

$\small \begin{array}{lllllll} &&\int \frac{x}{\left (4x^2+1 \right )^5}\mathrm{d}x\\\\ \textup{her s\ae ttes:}\\&&u=4x^2+1\\\\ \textup{og dermed:}\\&&\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=8x\\\textup{\textup{og}}\\&&x\mathrm{d}x=\frac{1}{8}\mathrm{d}u\\\\\textup{hvoraf:}\\&& \int \frac{x}{\left (4x^2+1 \right )^5}\mathrm{d}x=\int \frac{1}{\left (4x^2+1 \right )^5}x\mathrm{d}x=\frac{1}{8}\cdot \int \frac{1}{u^5}\mathrm{d}u=\frac{1}{8}\int u^{-5}\mathrm{d}u=\\\\&& \frac{1}{8}\cdot \left (-\frac{1}{4} u^{-4} \right )+k=-\frac{1}{32}\left (4x^2+1 \right )^{-4}+k \end{}$

Skriv et svar til: Giv en gennemgang af regneregler, der gælder for ubestemte integraler, herunder skal regnereglen for integration ved substitution bevises.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.