Matematik

Komplekse tal. multiple choice

28. september 2014 af Niko83 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej til alle derude.
Jeg har en opgave, hvor jeg ikke kan se, eller ikke kan løse den.
Opgaven,

Hvilket komplekst tal er løsning til ligningen: z³ = 8
1) -1+ i * (√3),,,,, 3) (√2) + i * (√2) 5) (- √2) - i *(√3)
2) -2 4) (√3) +i 6) 1 n- i

Har svært med at forstå opgaven. Det rigtige svar er bare 1)
Håber, at nogen kan forklare, hvorfor er 1) det rigtige svar.

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. september 2014 af mathon

z³ = 8

           z₁ = 2
                   z₂ = -1 + i·√(3)
                   z₂ = -1 - i·√(3)

Brugbart svar (0)

Svar #2
28. september 2014 af Drunkmunky (Slettet)

Demærk, at (-1+√(-3))²=1+-3-2√(-3)=-2-2√(-3) og hvis du ganger det med det med -1+√(-3) får du, at

(-1+√(-3))*(-2-2√(-3))=2+2√(-3)-2√(-3)+6=8, altså er 1) den korrekte løsning, da (-1+√(-3))³

Svar #3
28. september 2014 af Niko83 (Slettet)

Det er multiple choice og hvis i morgen skal jeg sidde og regne på den måde, så vil min tide løbe hurtige.
Man skal have en ide om eller nogle argumenter om opgaven.
# 2,,,,, Jeg kan godt følge regnestykket, men har ingen ide, hvorfor løses opgaven på den måde "Drunkmunky"

#1,, Der kan jeg ikke følge regnestykket, Jeg ved det godt z₁ = 2, da den tredje rod af 8 er 2. Meg jeg forstår hvordan du kommer med z₂ = -1 + i * √3 og z₃ = -1 - i * √3 " "mathon"

Svar #4
28. september 2014 af Niko83 (Slettet)

# 1 forstår ikke

Brugbart svar (0)

Svar #5
28. september 2014 af Drunkmunky (Slettet)

Det kommer ud på at finde ud af hvilken af de givne komplekse tal, som opløftet i tredje giver 8. Den nemmeste måde at gøre det på, er bare at overveje hvad de forskellige tal giver i tredje, da tredjegradsligninger hurtigt bliver noget rod. Så alt i alt, så skal du tjekke hvert tal for at se om de er 8 når de bliver opløftet i tredje.

F.eks. (-2)³=-8≠8

Brugbart svar (0)

Svar #6
28. september 2014 af mathon

(-1 + i√(3)³ = (-1)³ + 3·(-1)²·(i√(3) + 3·(-1)·(i√(3))² + (i√(3))³ = -1 + i·3√(3) - 3·3i² + 3√(3)i³ =

-1 + i·3√(3) + 9 - i·3√(3) = 8

altså er
-1 + i√(3) i ligningen z³ = 8

Svar #7
28. september 2014 af Niko83 (Slettet)

I forelæsning blev vi sagt, at man kan se ud fra ligningen, at modulus er 2, og jeg ikke huske desværre de argumenter som professoren sagde. Der var noget med "vinkler" argumentet. Alt kan man se ud fra ligning z³ = 8, sagde han. Jeg kan ikke sætte den at hænge sammen. Jeg vil nøjes med det I har skrivet til mig.

Mange, mange tak for hjælpen

Brugbart svar (0)

Svar #8
28. september 2014 af mathon

$z^3=8\cdot e^{i\cdot \left ( 0+p\cdot 2\pi \right )}$

$z=\left (8\cdot e^{i\cdot \left ( 0+p\cdot 2\pi \right )} \right )^{\frac{1}{3}}=8^{\frac{1}{3}}\cdot \left ( e^{i\cdot \left (0+p\cdot 2\pi \right )} \right )^{\frac{1}{3}}=2\cdot e^{i\cdot p\cdot \frac{2\pi }{3}}\; \; \; \; \; p\in \{0,1,2\}$

$z_1=2\cdot e^{i\cdot 0} = 2\; \; \; \; \; \; \; p=0$

$\! \! \! \! \! \! \! z_2=2\cdot e^{i\cdot \frac{2\pi }{3}} = 2\cdot \left ( \cos\left ( \frac{2\pi }{3} +i\cdot \sin\left ( \frac{2\pi }{3} \right )\right ) \right )=2\cdot \left ( -\tfrac{1}{2}+i\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} \right )\; \; \; \; \; \; \; p=1$

$-1+i\cdot \sqrt{3}$

$\! \! \! \! \! \! \! z_3=2\cdot e^{i\cdot \frac{4\pi }{3}} = 2\cdot \left ( \cos\left ( \frac{4\pi }{3}\right) +i\cdot \sin\left ( \frac{4\pi }{3} \right )\right ) \right )=2\cdot \left ( -\tfrac{1}{2}-i\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} \right )\; \; \; \; \; \; \; p=2$

$-1-i\cdot \sqrt{3}$

Skriv et svar til: Komplekse tal. multiple choice

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.