Fuldstændig løsning til et ligningssystem

Hvorfor ikke bare skrive ligningssystemet her?

        i·x₁ - 2x₂ = -i

        x₁ + (1+i)·x₂ = 1

Det løses som ethvert andet lineært ligningssystem. Man kan benytte substitution, eller lige store koefficienters metode, og man kan også gøre prøve med den fundne løsning.

Gang Ligning 1) med i:

        -x₁ - 2ix₂ = 1

og læg den til Ligning 2):

         (1 - i)x₂ = 2

        x₂ = 2/(1-i) = 2·(1+i)/2 = 1+i

        x₁ = 1 - (1+i)x₂ = 1 - (1+i)² = 1 - 1 +1 -2i = 1-2i .

Jeg vil gerne lære det gennem gauss-elimination.

#2

Du spurgte, hvordan vi ville løse den. Det fik du så svar på sammen med en opfordring til også selv at gøre prøve, hvorved du ville kunne konstatere, at din løsning ikke er korrekt.

Fremgangsmåden i #1 følger for så vidt metoden i Gauss-elimination.

Det jeg gjorde var først at gange ligning 1 med -i og dernæst træk jeg ligning 1 med ligning 2. Ligsom du har gjort. Jeg gik dog videre, for at prøve at få et ledende 1-tal i anden ligning. Er det ikke nødvendigt med 1-tallet i anden ligning, fordi det ikke kan lade sig gøre? 

Problemet ved dine udregninger er, at man ikke må dividere, når man gauss-eliminere. Ellers ville det også være nemt at løse den, og dermed finde et ledende 1-tal i ligning 2 uden problemer.

#5

Hvad mener du med, at man ikke må dividere? Man kan gange en ligning med et tal forskelligt fra 0.

Lige præcis!
Du bruger rækkeoperationer de første to gange, men til sidst isolerer du x1 og x2 (hvor det så er nødvendigt at dividere). Jeg var blot interesseret i at vide, hvordan det ville se ud hvis man lavede rækkeoperationer hele vejen igennem til det endelige resultat:)
Ellers er det virkelig godt beskrevet, og jeg beklager ulejligheden.

#7

At dividere med (1-i) er jo det samme som at gange med 1/(1-i) .

Smart!!!

Jeg skal bestemme to koordinatsæt, for en parameterstilling. Der er ikke oplyst en skalar, vektor eller en linje. Jeg skal selv finde frem til løsningen. Synes bare det er lidt svært, når man ikke har noget at gå ud fra. 

Har du et hint til mig måske? 

#10. Prøv at formulere hele opgaven.

Jeg skal bestemme fire reelle tal a,b,c og d således at A kan beskrives ved en parameterfremstilling:
A= {P| OP= xu + yv hvor x tilhører [a,b] og y tilhører [c,d]|}
OP, u og v er vektorer.
Jeg kender facit, men jeg vil bare vide, hvordan den skal gribes an.

#12

Men hvad er A? (ud over at skulle kunne skrives på den måde?)

A må være en punktmængde, der allerede er beskrevet på en anden måde? Formuler hele opgaven.

Jeg forstod ikke opgaven på grund af samme problem. Jeg havde ikke noget at gå ud fra, men nu når du nævner det tjekkede jeg en ekstra gang, og jeg fandt et billede længere oppe i opgaven. 

#14

Det er det samme dokument, som du vedlagde i #10.

Det, der er vedlagt indtil videre, er, at man skal bestemme fire reelle tal a, b, c, d så at A kan beskrives ved parameterfremstilllingen

        A = { P | OP = xu + yv , hvor x ∈ [a;b] og y ∈ [c;d] }

ups!

#16

Så kan man se, at A er et parallelogram der udspændes af vektorerne u og v og forskudt til punktet med stedvektoren v , altså

        OP = v + x·u + y·v , hvor    x ∈ [0;1]  og y ∈ [0;1]

så opgavens svar er   a = 0 , b = 1, c = 1, d = 2 .

Hvordan kan man komme frem til resultatet?

#18

Det er noget man bør kunne se umiddelbart. Vektorerne u og v udspænder et parallelogram, et "enhedskvadrat" med u og v som basisvektorer. Ethvert punkt i paralllelogrammet frembringes af linearkombinationen   xu + yv  ved at lade hver af koordinaterne løbe i enhedsintervallet [0;1] . Idet parallelogrammet er forskudt fra origo til punktet med stedvektoren v, får vi så en stedvektor til et vilkårligt punkt i parallelogrammet som

        OP = v + xu + yv = xu + (1+y)v , hvor (x,y) ∈ [0;1] × [0;1]

               = xu + yv , hvor (x,y) ∈ [0;1] × [1;2]

Selvfølgelig! Det er meget enkelt. Man kan aflæse det :-)