Ligning, én ubekendt

Du kan med god tilnærmelse sætte de to tal i nævnerne til 0

Men så får jeg x = 0

Så må du gange ligningen med nævnerne.

Alternativt kan du også lave en taylorrækkeudvikling af nævnerne

Bemærk, at ligningen har formen

        x = a + b -ax/(c+x) - bx/(d+x)

hvor a = 0,06 , b = 0,04 , c = 5,75·10^-8 , og d = 7,46·10^-8 . Vi har nu

        x = (a·(c+x) -ax)/(c+x)  +  (b·(d+x) -bx)/(d+x)

           = ac/(c+x)  +  bd/(d+x)

Hvis  x >> c  og også x >> d , er  1/(c+x) ≈ 1/x  og  1/(d+x) ≈ 1/x , hvorfor

        x ≈ ac/x + bd/x = (ac + bd)/x

og dermed

        x ≈ √(ac + bd) = 8,021·10^-5

som må være en god tilnærmelse.

Ligningen kan naturligvis reduceres til en 3.-gradsligning, der kan løses numerisk. Den har tre reelle rødder, hvoraf de to er negative. Den positive rod er x = 8,01795·10-5 , så fejlen i den tilnærmede rod er ca 0,04% .

Super tak, det hjalp meget! :-)

Det er svært at huske sådan nogle specialtilfælde udenad, er der en metode som man kan lære, så man kan løse sådanne lignende ligninger i hånden, eller skal man bare "kunne se det"?

#5

Der er vist ikke nogen generel metode. Jeg lagde mærke til, at 0,1 = 0,06 + 0,04, hvilket gjorde vurderingen af brøkerne simplere. Den generelle metode vil være at gange det hele ud til en 3.-gradsligning, for hvilken der findes en færdig, omend kompliceret, løsningsformel.

#5 Generelt giver et udtryk på formen

trediegradsligningen

Indsættes tallene fra opgaven fås, idet a - b - d = 0 ...

Ser man bort fra det konstante led ud fra forudsætningen om at x>>7,46·10^-8 fås

der fører til

I tilfældet, hvor a-b-d>0 og stor i forhold til c og e, kan ligningen løses ved at afrunde nævnerne i det oprindelige udtryk.

#7

Med din nomenklatur er ligningen

og ganger man 3.-gradsligningen ud, bliver den

der med a = b+d bliver til

Med opstillingen i #4 er det helt ligetil at vurdere de enkelte led.

CAS løsning.