Matematik

Cirklers skæringspunkt (vektorregning)

06. november 2014 af emsely96 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hejsa!
Jeg har en opgave der lyder således:

Cirklerne C1 og C2 har ligningerne:
C1: x^2+y^2-12x+2y=-33 , C2: x^2+y^2+2x-6y=26
Vis, at cirklerne skærer hinanden.

Nogen der kan hjælpe mig med hvordan man finder ud af dette? :)

Brugbart svar (1)

Svar #1
06. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Bestem cirklernes centre C₁ og C₂ og deres radier r₁ og r₂. Beregn så afstanden d mellem de to centre.

Hvis d > r₁+r₂, skærer cirklerne ikke hinanden.

Hvis d = r₁+r₂, rører cirklerne hinanden udvendigt.

Hvis d = |r₁-r₂|, rører cirklerne hinanden indvendigt.

Hvis |r₁-r₂| < d < r₁+r₂, skærer cirklerne hinanden i to punkter.

Hvis d < |r₁-r₂| , ligger den ene cirkel helt inde i den anden cirkel.

Brugbart svar (0)

Svar #2
06. november 2014 af mathon

Hvis
$\left | C_1C_2 \right |< R-r$ er der ingen skæringspunkter

$\left | C_1C_2 \right |=R-r$ er der indre tangering dvs 1 skæringspunkt

$R-r<\left | C_1C_2 \right |< R+r$ er der dobbeltskæring

$\left | C_1C_2 \right |=R+r$ er der ydre tangering dvs 1 skæringspunkt

$\left | C_1C_2 \right |> R+r$ er der ingen skæringspunkter.

..........

R er den største af radierne.

Brugbart svar (0)

Svar #3
06. november 2014 af mette48 (Slettet)

C1: x^2+y^2-12x+2y=-33 , (x-6)²-36+(y+1)²-1=-33 , (x-6)²+(y+1)²=2² , centrum i (6,-1) radius 2

C2: x^2+y^2+2x-6y=26 , (x+1)² -1 +(y-3)²-9=26 , (x+1)²+(y-3)²=4² , centrum i (-1,3) radius 2

Lav en tegning og beregn afstanden mellem centrene

Brugbart svar (0)

Svar #4
06. november 2014 af mathon

$c_1\! \! :\; \; (x-6)^2+(y+1)^2=\left ( 70^{\frac{1}{2}} \right )^2$

$c_2\! \! :\; \; (x+1)^2+(y-3)^2=\left ( 36^{\frac{1}{2}} \right )^2$

Brugbart svar (0)

Svar #5
06. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Bemærk -33 på venstresiden i c₁ .

Brugbart svar (0)

Svar #6
06. november 2014 af mette48 (Slettet)

der er en skrivefejl

C2: x^2+y^2+2x-6y=26 , (x+1)² -1 +(y-3)²-9=26 , (x+1)²+(y-3)²=4² , centrum i (-1,3) radius 4

Brugbart svar (0)

Svar #7
06. november 2014 af mathon

$c_1\! \! :\; \; (x-6)^2+(y+1)^2=\left ( 4^{\frac{1}{2}} \right )^2$

$c_2\! \! :\; \; (x+1)^2+(y-3)^2=\left ( 36^{\frac{1}{2}} \right )^2$

Brugbart svar (0)

Svar #8
06. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det er korrekt, at der er en skrivefejl i #3, men fejlen er for c₁.

c₁: x² + y² -12x +2y = -33 ⇒ (x-6)² -6² + (y+1)² -1² = -33 ⇒ (x-6)² + (y+1)² = 4 = 2²

c₂: x² + y² + 2x -6y = 26 ⇒ (x+1)² -1² + (y-3)² -3² = 26 ⇒ (x+1)²+ (y-3)² = 36 = 6² .

c₁: centrum (6 , -1), radius 2

c₂: centrum (-1 , 3) radius 6 .

Brugbart svar (0)

Svar #9
06. november 2014 af Manu0407 (Slettet)

Men hvordan er det i beregner d afstanden?

Brugbart svar (0)

Svar #10
06. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Afstanden d er afstanden mellem de to cirklers centre C₁ og C₂:

d = |C₁C₂| = √((6 - (-1))² + (-1 - 3)²)

Brugbart svar (0)

Svar #11
06. november 2014 af Manu0407 (Slettet)

Ah på den måde! TAK!

Brugbart svar (0)

Svar #12
06. november 2014 af Manu0407 (Slettet)

Kan det passe afstanden d er kvadr. af 65?

Brugbart svar (0)

Svar #13
06. november 2014 af mathon

d = |C₁C₂| = √(65) ja

Brugbart svar (0)

Svar #14
06. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Opgavens ordlyd: "Vis, at cirklerne skærer hinanden" er derfor lidt uheldigt valgt.

Brugbart svar (0)

Svar #15
06. november 2014 af mathon

Teksten burde f.eks. være:
"Undersøg om cirklerne skærer hinanden"

Svar #16
06. november 2014 af emsely96 (Slettet)

Men når nu svaret er kvadratroden af 65, hvad siger det så om cirklernes skæring, for som jeg forstår det skærer de ikke hinanden? Og det er bare underligt i forhold til det opgaven spørg om?

Brugbart svar (0)

Svar #17
06. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

#16

Ja, det er helt korrekt. Afstanden mellem cirklernes centre er d = √65 , mens summen af cirklernes radier er

r₁ + r₂ = 8 = √64 < √65 = d .

Derfor bemærkningerne i #14 og #15.

Skriv et svar til: Cirklers skæringspunkt (vektorregning)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.