Matematik

Optimering - hegn om område

07. november 2014 af ChemIdiot (Slettet) - Niveau: B-niveau

Jeg har et problem med en optimeringsopgave og jeg kan virkelig ikke se hvad jeg skal gøre.
Spørgsmålet lyder:
Lad os forestille os at vi i en have skal indhegne et område til en hundegård. Vi ønsker at området skal være rektangulært med et areal på 30 m2. Den ene side af rektanglet skal hegnet være et solidt træhegn mod en nabo mens de tre øvrige sider skal udgøres af et let trådhegn mod resten af haven. Prisen pr. meter for hegnet mod naboen er 625 kr., mens prisen pr. meter for resten af hegnet er 475 kr.
Målet er at foretag indhegningen så det bliver så billigt som muligt.

a) Bestem den billigste løsning samt den samlede pris

Da det er en rektangel ved jeg at Areal=Længde*højde men da den ene side koster mere end de andre skal den så hedde A=2y+x+z
så 30=2y+x+z
Vil så prøve at isolere y og får
y=15-0,5x-0,5z
indsætter det i den originale formel og får
30=2(15-0,5x-0,5z)+x+z
Men får så det til 30=30.

Alle de andre områder i matematik B har jeg forstået uden problemer, men lige optimering kan jeg ikke fatte en bjælde af.
Er der nogen der kan forklarer mig hvordan jeg skal begive mig videre?

På forhånd TAK!

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. november 2014 af peter lind

Du bør starte forfra. Kald længden af siden mod naboen for x og den anden side for y.

Prisen er så 625*x +475kr + 2*y*475

x*y = 30. Isoler y (eller x) i i denne ligning og sæt resultatet ind i den første ligning. Du har nu prisen udtrykt ved x alene. Den må du så finde maksimum for på normal måde

Svar #2
07. november 2014 af ChemIdiot (Slettet)

Jeg er ikke helt sikker på hvad du mener?

Er det sådan her du mener:
625*x * 2*y*475=30?

Det er disse første skridt som jeg ikke kan finde ud af i optimering. Det med at finde maksimum osv. er nemt nok, det er dette som jeg finder frustrende.

Brugbart svar (0)

Svar #3
07. november 2014 af peter lind

Nej. Du skal løse x*y= 30 med hensyn til den ene af variablene Det giver for eks x = 30/y

Du skal nu erstatte x i den første ligning med de 30/y. Så har du den fremkomne omkostningsfunktion

Brugbart svar (1)

Svar #4
07. november 2014 af mathon

bredden kaldes x
længden kaldes y
$A_{rekt}=x\cdot y=30$

$y=\frac{30}{x}$

pris
$p=y\cdot 625+\left ( 2x+y \right )\cdot 475$ $y=\frac{30}{x}$ indsættes

$p=\frac{30}{x}\cdot 625+\left ( 2x+\frac{30}{x} \right )\cdot 475$

$p(x)=\frac{18750}{x}+\left ( 950x+\frac{14250}{x} \right )$

$p(x)=\frac{33000}{x}+950x$

minimum kræver:

$p{\, }'(x)=\frac{-33000}{x^2}+950=0\; \; \; \; \; x> 0$

$x=\frac{2\sqrt{3135}}{19}\approx 5,89$

    $p{\, }'(x)\! \! :$                  -             0               +
0_____________5,89_____________
   $p(x)\! \! :$        aftagende    voksende

hvoraf
                p(x) har minimum for $x=5,89\; m$
                          og $y=\frac{30}{5,89}=5,09\; m$

Svar #5
07. november 2014 af ChemIdiot (Slettet)

Fedt! Rigtig mange tak, Mathon.
Tror jeg forstår det nu. Det var bare de første skridt, hvor jeg skulle isolere og indsætte jeg havde problemer med, men tak! :-)

Brugbart svar (0)

Svar #6
07. november 2014 af mathon

Den billigste samlede pris:
$p_{min}=\frac{33000}{5,89}+950\cdot 5,89=11.198,22\; kr$

Svar #7
08. november 2014 af ChemIdiot (Slettet)

#6
Den billigste samlede pris:
$p_{min}=\frac{33000}{5,89}+950\cdot 5,89=11.198,22\; kr$

Hmmm jeg regnede det ud til dette:
(2*5,89*475)+(5,09*475)+(5,09*625)=11194,5 kr.

Men egentlig, så bruger jeg jo også nedrundede tal, hvilket forklarer den lille forskel.

Men sådan som du skrev det op er meget behjælpeligt: Har en anden opgave med en dåseøl som jeg laver imorgen.

Skriv et svar til: Optimering - hegn om område

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.