Matrix for abstrakt afbildning

Hej. Når der er givet en abstrakt afbildning T, som ikke længere afbilder fra et talrum til et andet, er det så ikke muligt at snakke om at der til T tilhører en "matrix" M, så T(x) = M*x? Eller kan det godt lade sig gøre?

Men hvad menes der så med matrixrepræsentationer mht. en basis for V, eksempelvis når T er af formen : ?

V har en basis, så enhver vektor i V har en tilhørende "koordinatsøjle" mht. basen. Er det så disse koordinatsøjler (som jo er talværdier) som vi kan repræsentererer mht. en matrix, altså den gamle koordinatsøjle og så den nye, efter at vi har taget transformationen?

Slutteligt: Hvad hvis denne matrixrepræsentation af T mht. basen for V er lig en anden matrixrepræsentation af T mht. en ny base fra V, altså at de to matricer er ens... Hvad siger det om V, baserne, og T?