To halvcirkler i et kvadrat?

De tre cirklers centre danner vinkelspidserne i en ligebenet trekant med siderne (R+r) , (R+r) og 2R , hvor R er radius i en af de store cirkler (lig med kvadratets halve side), og r er radius i den lille cirkel. Højden i denne trekant er (R-r) , hvorfor Pythagoras giver

        R² + (R-r)² = (R+r)²

hvoraf man finder

        4Rr = R²

eller

        r = R/4

#1

(R+r)² = (R+r)(R+r)

= R² + r² + 2Rr

Er ikke helt sikker på hvordan du kom frem til 4R = r² 

Vil du gerne være sød at komme med en kort forklaring? 

#3

Gang kvadrater ud i ligningen

        R² + (R-r)² = (R+r)²

dvs

        R² + R² + r² - 2Rr = R² + r² + 2Rr

og reducer.

Alternativt kan man omskrive

        R² = (R+r)² - (R-r)² = (R+r + R-r)·(R+r -(R-r)) = 2R·2r = 4Rr

hvor man så dividerer med R på hver side.

CAS konstruktion, der bygger på at r=R/4.

Ad ##3;4:

Heraf følger af Pythagoras læresætning, at r=R/4.