Matematik

Statistik og henfald

17. januar 2015 af telgård (Slettet) - Niveau: A-niveau

Til øvelse 47,8 har jeg beregnet

a) P(X > t) = 1 - P(X ≤ t) = 1 - F(t) = 1-(1-e^-kt) = e^-kt

b) P(t < X ≤ t + Δt ) = P(X ≤ t + Δt) - P(X < t) = F(t + Δt) - F(t) = ... = e^-kt (1 + e^-k•Δt)

c) Jeg ved ikke helt hvad de mener med notationen eller hvordan jeg skal beregne det.

Er det korrekt? Med hensyn til fortolkningen af resultaterne kan jeg også godt bruge lidt hjælp.

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. januar 2015 af peter lind

Divider det sidste fra b med Δt og brug 3 trinsreglen

Svar #2
17. januar 2015 af telgård (Slettet)

$\frac{F(t+\Delta t)-F(t)}{\Delta t}=\frac{e^{-kt}(1-e^{-k\Delta t})}{\Delta t}\rightarrow f(t)=k\cdot e^{-kt}\ \textup{for} \Delta t\rightarrow 0$

Jeg kan stadig ikke se hvordan sandsynlighed kan fortolkes som antal henfald.

Svar #3
17. januar 2015 af telgård (Slettet)

Jeg tænker selv da, at sandsynligheden for henfald er for en kerne er e^-kt(1-e^-k•Δt). Nu da vi har N kerner vil der i det passerede tid Δt være ΔN henfald. Man har da

$N\cdot e^{-kt}(1-e^{-k\Delta t})=\Delta N$

ved at dividere med Δt på begge sider

$N\cdot \frac{e^{-kt}(1-e^{-k\Delta t})}{\Delta t} =\frac{\Delta N }{\Delta t}$

og lade Δt gå mod nul

$N\cdot k\cdot e^{-kt} =N'$

men det er ikke helt korrekt, for det led med e^-kt skal da ikke være med. Hvad har jeg gjort forkert?

Brugbart svar (1)

Svar #4
17. januar 2015 af peter lind

Det du beregner er sansynligheden for at et atom henfalder i tiden mellem t+Δt. Et atom henfalder med sansynligheden e^-kt*Δt i intervallet. Antal atomer der henfalder i middel i tidsintervallet er så N*e^-kt

Svar #5
17. januar 2015 af telgård (Slettet)

Antallet af atomer som henfalder i middel i det tidsinterval er så (som du skriver)

ΔN = N • e^-kt • Δt

men ifølge opgaven bør man ende ud med ΔN = k • N • Δt. Hvordan kan det hænge sammen?

Brugbart svar (1)

Svar #6
17. januar 2015 af peter lind

Der er forvirring om hvad N står for. N er afhængig af tiden. Her rodes der rundt med om N er værdien til tiden t=0 eller til tiden t=0 Hvis N er antallet til tiden 0 og det hele forgår til tiden 0, så er e^-kt = 1. Hvis N er antallet efter tiden N og N₀ er antallet til tiden 0, så er antallet til tiden t N₀*e^-kt

Svar #7
17. januar 2015 af telgård (Slettet)

Tak for de brugbare svar! Du har ganske ret i det med N.

Brugbart svar (1)

Svar #8
17. januar 2015 af Therk

c) Udtrykket er en betinget sandsynlighed, og skal fortolkes som sandsynligheden for at (X i intervallet) givet at X>t . Ved elementær betinget sandsynlighedsregning har du at

$P(t<X\leq t+\Delta t \mid X>t) &= \frac{P(t<X\leq t+\Delta t,{{}\color{red}t<X} )}{P(t<X)}$

hvor det røde så er overflødigt, og vi skal bruge at Fordelingsfunktionen og overlevelsesfunktionen har det følgende forhold:

$F(x) = 1-\bar F(x) = 1-P(x<X)$

Det kan du bruge til at skrive den betingede sandsynlighed ved fordelingsfunktionen.

$\begin{align*} \frac{P(t<X\leq t+\Delta t)}{P(t<X)} &= \frac{F(t+\Delta t)-F(t)}{1-F(t)} \\[0.5em] &= \frac{{\color{red}1}-\mathrm e^{-k(t+\Delta t)}-({\color{red}1}-\mathrm e^{-kt})}{\mathrm e^{-kt}} \\[0.5em] &= \frac{-{\color{red}\mathrm e^{-kt}}\, \mathrm e^{-k\Delta t} +{\color{red} \mathrm e^{-kt}}}{\color{red}\mathrm e^{-kt}} = 1-\mathrm e^{-k\Delta t}.\end{align*}$

Derfor har du $\mathrm e^{-kt}$ for meget i #3. Jeg håber farverne evt. kan hjælpe lidt.

Skriv et svar til: Statistik og henfald

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.