Matematik

Hjælp med differentiering

10. februar 2015 af HelmutLotta (Slettet) - Niveau: A-niveau

Jeg sidder til min SRO og bliver bedt om at bevise f(x)=1/g(x)' ved hjælp af tretrinsreglen. Der står at det er en differentiabel funktion uden nulpunkter

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. februar 2015 af mathon

1. trin

                   g(x_o+h)-g(x_o)
                    $\frac{1}{x_o+h}-\frac{1}{x_o}$        hvor der med fællesnævner x_o(x_o+h)
haves
                   $\frac{x_o-(x_o+h)}{\left x_o(x_o+h \right )}=\frac{-1}{\left x_o(x_o+h \right )}\cdot h$

2. trin
$\frac{\frac{-1}{\left x_o(x_o+h \right )}\cdot h}{h}=\frac{-1}{\left x_o(x_o+h \right )}$

3. trin

$\underset{h \to0 }{\lim}\; \frac{-1}{\left x_o(x_o+h \right )}=g{\, }'(x_o)=\frac{-1}{x_o\cdot \left (x_o+0 \right )}=-\frac{1}{{x_{o}}^{2}}$

Brugbart svar (1)

Svar #2
10. februar 2015 af Andersen11 (Slettet)

Det er givet, at funktionen g(x) er differentiabel og overalt forskellig fra 0. Man skal vise, at da er funktionen

f(x) = 1/g(x)

differentiabel, og man skal bestemme funktionens differentialkvotient.

1. Man opstiller differenskvotienten for f(x) i x0 med tilvækst h, udtrykt ved g

$\newline\newline \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\frac{\frac{1}{g(x_{0}+h)}-\frac{1}{g(x_{0})}}{h}\newline\newline =\frac{g(x_{0})-g(x_{0}+h)}{h\cdot g(x_{0})\cdot g(x_{0}+h)}\newline\newline \rightarrow -\frac{g'(x_{0})}{g(x_{0})^{2}}\; \textup{for}\; h\rightarrow 0$

og viser til sidst, at differenskvotienten har en grænseværdi for h gående mod 0.

Svar #3
10. februar 2015 af HelmutLotta (Slettet)

Tak for svaret :)
Men hvor dan kom du til -g'(x_o)/g(x_o)² lige pludselig?

Brugbart svar (1)

Svar #4
10. februar 2015 af Andersen11 (Slettet)

Det er oplyst, at g(x) er differentiabel. Derfor vil differenskvotienten for g(x) i x₀ med tilvækst h gå mod differentialkvotienten for g(x) i x₀, når h går mod 0 , dvs

$\frac{g(x_{0}+h)-g(x_{0})}{h}\rightarrow g'(x_{0})\; \textup{for}\; h\rightarrow 0$

Brugbart svar (0)

Svar #5
11. februar 2015 af mathon

Korrektion af #1:
   Fra #4 har du
   dvs som udgangspunkt
                                 $\underset{h \to0 }{\lim} \; \frac{g(x_{0}+h)-g(x_{0})}{h}=g{\, }'(x_{0})$

dernæst
for funktionen $\frac{1}{g(x)}$

1. trin:
$\frac{1}{g(x_o+h)}-\frac{1}{g(x_o)}=\frac{g(x_o)-g(x_o+h)}{g(x_o)g(x_o+h)}=-\frac{g(x_o+h)-g(x_o)}{g(x_o)g(x_o+h)}$

2. trin:

$\frac{\frac{1}{g(x_o+h)}-\frac{1}{g(x_o)}}{h}=\frac{-1}{g(x_o)(g(x_o+h))}\cdot \frac{g(x_o+h)-g(x_o)}{h}$

3. trin:

$\underset{h \to 0}{\lim} \; \frac{\frac{1}{g(x_o+h)}-\frac{1}{g(x_o)}}{h}=\frac{-1}{g(x_o)(g(x_o+0))}\cdot \underset{h \to 0}{\lim} \frac{g(x_o+h)-g(x_o)}{h}=$

$\frac{-1}{g(x_o)^2}\cdot g{\, }'(x_o)=\frac{-g{\, }'(x_o)}{g(x_o)^2}$

Skriv et svar til: Hjælp med differentiering

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.