Lineær afbildning af P_3(R)-> P_3(R)

Du skal vise at L(k*f)  = k*L(x)

samt at L(f+g) = L(f)+L(g)

Den første skal du erstatte f på højre side med k*f. Derefter kan du se at k kan sættes ud foran en parantes

Den anden skal du erstatte f med f+g . Derefter kan du samle alle led med f for sig og alle led med g for sig.

a)  Vis, at der gælder   L(a·f(x) + b·g(x)) = a·L(f(x)) + b·L(g(x))  for vilkårlige f , g ∈ P₃(R) og vilkårlige a , b ∈ R .

er det L(f) som er f'(x)? eller hvordan?

Det er specielt den differentierede der generer mig lidt :-)

#3

Det er jo oplyst, at

        L(f(x)) = x·f'(x) - 2f(x) .

For f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² har man da

        L(a₀ + a₁x + a₂x²) = x·(a₁ + 2a₂x) - 2·(a₀ + a₁x + a₂x²) = -2a₀ -a₁x

Jojo, men jeg synes bare ikke at jeg kan se at -2a₀-a₁x beviser at det er en lineær afbildning...

#4

Man skal se på

        L(a·f(x) + b·g(x)) = x·(a·f(x) + b·g(x))' - 2·(a·f(x) + b·g(x))

                                    = x·a·f '(x) + x·b·g'(x) - 2·a·f(x) - 2·b·g(x)

                                    = x·a·f '(x) - 2·a·f(x)  +  x·b·g'(x) - 2·b·g(x)

                                    = a·(x·f '(x) - 2·f(x))  +  b·(x·g'(x) - 2·g(x))

                                    = a·L(f(x)) + b·L(g(x))

Det gør det heller ikke; men du kan bruge det til at bevise det.

Ad svaret i #1 kan det gøres mere direkte

L(k*f) = x*(k*f)'-2(kf)  = x*k*f'-2kf = k*(xf') -k*2f = k(xf'-2f) = k*L(f)

Gennemfør det samme med summen

Ah, tusind tak! :)
Igen, jeg havde blot problemer med f'(x) :)
 

Kan der gives et hint til opgave b?

Jeg har tidligere lavet en lignende opgave ang overgangsmatrix, men da jeg ikke har to baser, ved jeg ikke helt hvordan den skal gribes an.

baserne er funktionerne f(x) = 1, f(x) = x² og f(x) = x³

Brug at søjlerne i A er billed af basisvektorerne

Ah, det må jeg lige prøve :) Tak for hintet! Og for hjælpen, begge to! :-)