Matematik

Bestem r(pi/4) og udregn kurvens krumning

05. juni 2015 af LotteAnd (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Opgaven er den beskrevet på billedet. Men jeg forstår dog ikke hvordan jeg skal løse opgaven. Jeg har en ide om at jeg skal bruge formlen:
K(x)=( | y''(x) | ) / ( [1+ (y'(x))^(2) ]^(3/2) )
Men jeg får ikke det rigtige resultat, hvilket jeg har fået oplyst til at være:
K(pi/4) = (4*sqrt(2)) / (5*sqrt(5))

Vedhæftet fil: image.jpg

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. juni 2015 af peter lind

Brugbart svar (0)

Svar #2
05. juni 2015 af peter lind

Du kan finde formlen for krumningen på http://ga.randers-hf-vuc.dk/matlex/parameter.html#krumning

Brugbart svar (0)

Svar #3
05. juni 2015 af mathon

$\overrightarrow{r}(t)=\begin{pmatrix} x(t)\\ y(t) \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{v}(t)=\begin{pmatrix} \dot{x}(t)\\ \dot{y}(t) \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{a}(t)=\begin{pmatrix} \ddot{x}(t)\\ \ddot{y}(t) \end{pmatrix}$

krumning:
$\mathcal{K}(t)=\frac{\left | \dot{x}\cdot\ddot{y} - \dot{y}\cdot\ddot{x}\right |}{\left (\dot x ^2+\dot y ^2 \right )^{\frac{3}{2}}}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
05. juni 2015 af Toonwire

Curvature for et vilkårligt punkt: (i forlængelse af formlen i #3)

$\\\mathcal{K}(t)=\frac{-sin(t)\cdot (-2sin(t))~- ~2cos(t)\cdot (-cos(t))}{((-sin(t))^2+(2cos(t))^2)^{3/2}}=\frac{2(sin^2(t)+cos^2(t))}{(1+3cos^2(t))^{3/2}}\\ ~~~~~~~=\frac{2}{(1+3cos^2(t))^{3/2}} \\\\\\\Rightarrow~~\mathcal{K}(\begin{matrix} \frac{\pi}{4} \end{matrix})=\frac{2}{\begin{matrix} \left( \frac{5}{2}\right )\end{matrix}^{3/2}} =\frac{4 \sqrt{2}}{5\sqrt{5}} =0.5060$

Brugbart svar (0)

Svar #5
05. juni 2015 af mathon

krumning:
$\mathcal{K}(t)=\frac{\left | \dot{x}\cdot\ddot{y} - \dot{y}\cdot\ddot{x}\right |}{\left (\dot x ^2+\dot y ^2 \right )^{\frac{3}{2}}}=\frac{\left | (-\sin(t))\cdot(-2\sin(t) )- (2\cos(t))\cdot(-\cos(t))\right |}{\left ((-\sin(t)) ^2+(2\cos(t)) ^2 \right )^{\frac{3}{2}}}=$

$\frac{2}{1+3\cos^2(t) }$

$\mathcal{K}\left ( \frac{\pi }{4} \right )=\frac{2}{1+3\cdot \left ( \cos\left ( \frac{\pi }{4} \right )} \right )^3}=\frac{4}{5}=0{,}8$

Brugbart svar (0)

Svar #6
05. juni 2015 af mathon

latexkorrektion:

$\frac{2}{\left (1}+3\cos^2(t) \right )^{\frac{3}{2} }$

$\mathcal{K}\left ( \frac{\pi }{4} \right )=\frac{2}{\left (1+3\cdot \left ( \cos\left ( \frac{\pi }{4 \right ) \right )^2 \right )^{\frac{3}{2}}}} =0{,}64\cdot \sqrt{5}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
05. juni 2015 af mathon

rettelse af tastfejl:

$\mathcal{K}\left ( \frac{\pi }{4} \right )=\frac{2}{\left (1+3\cdot \left ( \cos\left ( \frac{\pi }{4 \right ) \right )^2 \right )^{\frac{3}{2}}}} =\frac{2}{5\frac{\sqrt{10}}{4}}=\frac{16}{100}\cdot \sqrt{10}=0{,}505964$

Skriv et svar til: Bestem r(pi/4) og udregn kurvens krumning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.