Matematik

Hjælp til differentiering og ekstrema

21. august 2015 af Uddannelse2016 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hejsa,

Jeg har fået stillet følgende opgave:

"Bestem h'(t) og benyt dene til at bestemme efter hvor mange dage virksomheden har størst afsætning".

Jeg har funktionen: h(t) = 0,033t^3 - 2,388t^2 + 51,311t

Den har jeg differentieret til: h'(t) = 3 * 0,033t^2 - 2 * 2,388t + 51,311

Jeg går så ud fra, at det er ekstrema jeg skal finde. Såvidt jeg har forstået gøres dette ved at sætte h'(x) lig 0. Det har jeg så gjort:

0 = 3 * 0,033t^2 - 2 * 2,388t + 51,311

Forkorter leddene:

0 = 0,1t^2 - 4,8t + 51,311

Her er jeg så stuck. Jeg vil sætte stor pris på, hvis nogle vil hjælpe mig videre eller evt. sende mig en anden retning, hvis jeg er på et sidespor! :-)

På forhånd tak.

Mvh.

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. august 2015 af mathon

$h'(t) = 3 \cdot 0,033t^2 - 2 \cdot 2,388t + 51,311=0$

          $h'(t) =\mathbf{\color{Red} 0,099\cdot t^2 -4{,}776\cdot t + 51,311=0}$
                                                                                                       Løs andengradsligningen.
                                                                                                       Brug CASberegning.

Brugbart svar (0)

Svar #2
21. august 2015 af mathon

Du må ikke afrunde koefficienter midt i opgaven.

Brugbart svar (0)

Svar #3
21. august 2015 af Soeffi

#0. Hvilket CAS værktøj bruger du? Geogebra, der er brugt her, kan downloades gratis.

Vedhæftet fil:Screen Shot 2015-08-21 at 4.29.35 PM.png

Svar #4
21. august 2015 af Uddannelse2016 (Slettet)

Vi må ikke bruge hjælpeværktøjer. Det er til "prøven uden hjælpemidler". Men takfor svaret! :-)

Svar #5
21. august 2015 af Uddannelse2016 (Slettet)

Hvis andre har inputs til, hvordan jeg kan løse det uden brug af CAS-værktøj, vil jeg blive meget glad! :-)

Brugbart svar (0)

Svar #6
21. august 2015 af mathon

$h'(t) =\mathbf{\color{Red} 0,099\cdot t^2 -4{,}776\cdot t + 51,311=0}$

$t=\frac{4{,}776\pm \sqrt{4{,}776^2-4\cdot 0{,}099\cdot 51{,}311}}{2\cdot 0{,}099}$

$t=\frac{4{,}776\pm \sqrt{2{,}49102}}{ 0{,}198}=\left\{\begin{matrix} 16{,}15\\ 32{,09} \end{matrix}\right.$

Brugbart svar (0)

Svar #7
21. august 2015 af mathon

faktorisering af $h{\, }'(t)$

$h{\, }'(t)=0{,}099\cdot (t-16{,}15)(t-32{,}09)\; \; \; \; t>0$

$sign(h{\, }'(t))\! \! :$               +         0             -               0             +
                           0_________16,15___________32,09__________
monotoni $h(t)\! \! :$       voksende             aftagende              voksende
                                              lok. max                  lok. min

Svar #8
21. august 2015 af Uddannelse2016 (Slettet)

TUSIND tak for hjælpen, Mathon! :-)

Behøver jeg at finde monotoniforhold for at løse opgaven "Bestem h'(t) og benyt dene til at bestemme efter hvor mange dage virksomheden har størst afsætning"?

Svar #9
21. august 2015 af Uddannelse2016 (Slettet)

Er det btw. ikke toppunktsformlen jeg skal bruge i dette tilfælde? Altså -b/2a , -d/4a ? :-)

Brugbart svar (0)

Svar #10
21. august 2015 af mathon

Nu blander du tingene sammen.
Selve funktionen er h(t) , som er en tredjegradsfunktion.
Dennes afledede $h{\, }'(t)$ , som er en andengradsfunktion har fortegnsvariationen som ovenfor anført.
Det er denne fortegnsvariation, som bestemmende for h(t) 's monotoni.
Derfor hjælper det dig ikke at finde toppunktet for $h{\, }'(t)$ .

Svar #11
22. august 2015 af Uddannelse2016 (Slettet)

Mange tak for svaret, Mathon!

Det vil være super fedt, hvis du vil tilføje lidt noter til, hvad du har gjort de forskellige steder i dit eksempel. Jeg finder det ret svært at forklare, hvad der er gjort - formentlig fordi jeg ikke forstår det 100%. Jeg kan ikke umiddelbart forklare, hvorfor jeg finder nulpunkter for den differentierede funktion. Jeg kan godt se, at resultatet er korrekt, men jeg forstår ikke, hvorfor jeg kan/må det? :-)

Brugbart svar (0)

Svar #12
22. august 2015 af Soeffi

#0 ...efter hvor mange dage virksomheden har størst afsætning...

Jeg går ud fra, at der i opgaven er opgivet en definitionsmængde for t, da h(t) går mod uendelig for t gående mod uendelig?!

Svar #13
22. august 2015 af Uddannelse2016 (Slettet)

Der er til h(t) angivet, at 0<=t<=40 :-)

Brugbart svar (0)

Svar #14
22. august 2015 af Soeffi

Det ændrer opgaven, vil jeg mene. Nu får man:

Toppunktet er stadig for t=16,15, men man er også nød til at undersøge funktionsværdien for t=40 for at være sikker.

Toppunkt: 344,8, slutpunkt: 343,6.

Vedhæftet fil:Screen Shot 2015-08-22 at 1.24.48 PM.png

Svar #15
22. august 2015 af Uddannelse2016 (Slettet)

Tak for det, Soeffi. Er det så nu, at jeg skal beregne med toppunktsformlen (det er jo uden hjælpemidler)? :-)

Brugbart svar (0)

Svar #16
22. august 2015 af Soeffi

#15

Generelt skal en maksimumværdi-undersøgelse indeholde undersøgelse af endepunkter (t=0 og t=40) samt undersøgelse af lokale ekstremer (her t=16,15 og t=32,09). En af disse 4 t-værdier vil indeholde maksimumværdien. Alt efter hvor grundig, man vil være, kan man også lave en monotoni-undersøgelse.

Svar #17
22. august 2015 af Uddannelse2016 (Slettet)

Jeg er virkelig glad for, at du vil hjælpe Soeffi! :-)

Jeg har nu gjort følgende (i opgaven forinden har jeg redegjort for t = 40, så den er der styr på)

"Bestem h'(t) og benyt dene til at bestemme efter hvor mange dage virksomheden har størst afsætning".

Jeg har funktionen: h(t) = 0,033t^3 - 2,388t^2 + 51,311t

Den har jeg differentieret til: h'(t) = 3 * 0,033t^2 - 2 * 2,388t + 51,311

Og efterfølgende forkortet til: 0,099t^2 - 4,766t + 51,311

Så har jeg nu en andengradsfunktionen.

Jeg beregener diskriminanten (formel...) = 2,49

Er det så har, jeg kan bruge toppunktsformlen for en andengradsfunktion og få svaret at toppunktet er 16,15, og at svaret på opgaven så er, at virksomheden har størst afsætning efter 16(,15) dage? :-)

Brugbart svar (0)

Svar #18
22. august 2015 af Soeffi

#17 Mit forslag:

Jeg har funktionen: h(t) = 0,033t^3 - 2,388t^2 + 51,311t
Den har jeg differentieret til: h'(t) = 0,099t^2 - 4,766t + 51,311

Jeg skal nu løse andengradsligningen: 0,099t^2 - 4,766t + 51,311 = 0

Jeg beregener diskriminanten til 4,766² - 4·0,099·51,311= 2,40

Dette giver: t = -(-4,766)/2·0,099 ± (1/2·0,099)·√(2,40) <=> t = 16,15 eller t = 32,09

Af disse to værdier viser t=16,15 sig at være den t-værdi, der giver maksimum for h(t). Dette fremgår af en fortegnsundersøgelse for h'(t):

t 16,15 32,09

h'(t) + 0 - 0 +

i t er der: lokalt maks. lokalt min.

Svar #19
22. august 2015 af Uddannelse2016 (Slettet)

Tusind tak!

Men kan jeg få dig til at skrive, hvordan du vil forklare, hvad du gør efter at have beregnet diskriminanten. Hvorfor finder du nulpunkter for den differentierede funktion? :-)

Brugbart svar (0)

Svar #20
22. august 2015 af mathon

#19

Du må forstå,at

man kan sige, at $f{\, }'(x)$ virker som en slags "sladderhank" om f(x) .

Når nulpunkterne $x_{o1},x_{o2}...$ $x_{on}$ for $f{\, }'(x)$ er fundet, undersøges fortegnsvariationen i en lille omegn om $x_{on}$
Er fortegnsvariationen for $f{\, }'(x)\! \! :$

+ 0 -
_____x_{on_______} har f(x) lokalt/globalt maksimum i $x_{on}$

Er fortegnsvariationen for $f{\, }'(x)\! \! :$

- 0 +
_____x_{on_______} har f(x) lokalt/globalt minimum i $x_{on}$

Forrige 1 2 Næste

Der er 23 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.