Matematik

Limes af et integrale af en uniformt kontinuert funktion

30. september 2015 af Therk - Niveau: Universitet/Videregående

Ligesom det er mig normalt at referere til brugen af Fubini, Jensen's ulighed el. lign., selvom de kan antages trivielle på dette niveau (det letter læseligheden), vil jeg gerne referere til resultatet her:

Givet en $F:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$ , der er (uniformt) kontinuert, så gælder der at

$\frac 1h \int _0^h F(x-t) \, \mathrm dt \rightarrow \frac 1h \big(hF(x-) - 0\cdot F(x-)\big)= F(x), \quad h\rightarrow 0.$

Mit spørgsmål lyder: Hvilket resultat har jeg brugt? Antag evt. at alt op til er trivielt. På forhånd tak.

Brugbart svar (0)

Svar #1
30. september 2015 af AskTheAfghan

Er du sikker på om du har skrevet det rigtigt? For eksempel F(x-) giver ikke mening. Ellers tror jeg ikke jeg kender svaret. Hvis du mangler og har brug for et "professionelt" svar, kan du prøve spørge i Mathematics Stack Exchange.

Svar #2
01. oktober 2015 af Therk

Med F(x-) mener jeg grænseværdien fra venstre, som eksisterer og er lig F(x), da funktionen er kontinuert. Formelt

$F(x-) = \lim_{y\uparrow x} F(y)$

Jeg har skrevet det forkert. Der skulle have stået

$\frac 1h \int_0^h F(x-(h-t))\, \mathrm dt$

ellers havde det blot været at anvende analysens fundamentalsætning. Men tak for svaret. Jeg prøver math.SE.

Brugbart svar (0)

Svar #3
02. oktober 2015 af AskTheAfghan

#2 Ok, jeg kender ikke notationen; jeg læste F(x - 0) i stedet for F(x - ) i nogle litteraturer. Jeg vil meget gerne vide hvad svaret er, hvis du har fået hjælp til det fra Math.SE.

Svar #4
13. oktober 2015 af Therk

Som det ser ud har jeg ikke fået besvaret spørgsmålet med et kendt resultat, men blot fået det vist med et epsilon-delta-bevis, som jeg havde håbet at kunne komme uden om, da jeg ikke ønskede at gennemgå et bevis for det til øvelsesgangen. Men et fint lille bevis, som vha. variabelskift gjorde det meget nemmere at se.

Limit variable in integrand and integral bounds - Mathematics Stack Exchange

Skriv et svar til: Limes af et integrale af en uniformt kontinuert funktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.