Matematik

Vektor – kugle og plan.

27. oktober 2015 af Pedersen9 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej Studieportalen

Jeg skal beregne følgende opgaver, og jeg er i tvivl om jeg har beregnet dem rigtig:

1) Bestemmelse afstanden fra centrum C i kuglen til planen alfa

Planen alfa: 2x + y + 2z = 19

Kuglen: x2+y2+z2+4x-6y+10z=62, eller omskrevet (x+2)2+(y-3)2 + (z+5)2=102

Jeg har beregnet afstanden til at være 10, så alfa er en tangentplan.

2) Beregn radius i skæringscirklen mellem kuglen og alfa.
Da alfa er en tangentplan, er der vel ikke nogen skæringscirkel? Jeg har beregnet afstanden mellem planen og kuglen flere gange for at dobbelttjekke. Har jeg ret, eller har jeg regnet forkert?

3) Bestemmelse af ligninger for de to tangentplaner til kuglen der er parallelle med alfa
Jeg udnytter at tangentplanerne har samme normalvektor som planen afla. Efterfølgende beregner jeg skæringspunktets (mellem kulgen og planen alfa) koordinater således:

OP = OC+CP = OC ± 10 n/|n|

Jeg får disse to ligninger:

2x+y+2z-39=0

2x+y+2z+61=0

Jeg håber, at nogen kan hjælpe mig og tak på forhånd :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
27. oktober 2015 af mathon

Kuglen: x²+y²+z²+4x-6y+10z=62, eller omskrevet (x+2)²+(y-3)² + (z+5)²= (√(24))²

Brugbart svar (0)

Svar #2
27. oktober 2015 af mathon

Der må være en fejlskrivning i kuglens eller planens ligning.

Svar #3
27. oktober 2015 af Pedersen9 (Slettet)

Kuglens og planes ligning er skrevet rigtig op ifølge opgave, men har jeg så løst opgaverne rigtigt?

Brugbart svar (0)

Svar #4
27. oktober 2015 af mathon

Jeg har begået en fejl
som rettes her:
                              cirkelligning
                                                    (x+2)^2+(y-3)^2+(z+5)^2=10^2
Du har begået en fejl
som rettes her:
     Centrums afstand til planen:
                                                    $d=\frac{\left | 2\cdot (-2)+3+2\cdot (-5)-19 \right |}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=\frac{30}{9}=\frac{10}{3}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
27. oktober 2015 af mathon

radius i skæringscirklen:
$r_{cirk}=\sqrt{10^2-\left ( \frac{10}{3} \right )^2}=\frac{20\sqrt{2}}{3}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
27. oktober 2015 af mathon

3)
Parallelle tangentplaner:

$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}\pm r\cdot \frac{\overrightarrow{n}}{\left | \overrightarrow{n} \right |}=\overrightarrow{OC}\pm \frac{r}{\left | \overrightarrow{n} \right |}\cdot \overrightarrow{n}=\begin{pmatrix} -2\\3 \\ -5 \end{pmatrix}\pm \frac{10}{3}\cdot \begin{pmatrix} 2\\1 \\ 2 \end{pmatrix}=\left\{\begin{matrix} \begin{pmatrix} \frac{14}{3}\\ \frac{19}{3} \\ \frac{5}{3} \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} -\frac{26}{3}\\ -\frac{1}{3} \\ -\frac{35}{3} \end{pmatrix} \end{matrix}\right.$

Brugbart svar (0)

Svar #7
27. oktober 2015 af mathon

standardform:

$ax+by+cz-(a\cdot x_o+b\cdot y_o+c\cdot z_o)=0$

$t_1\! \! :\; \; 2x+y+2z-\left(2\cdot \frac{14}{3}+ \frac{19}{3}+2\cdot \frac{5}{3}\right)=0$

$t_1\! \! :\; \; 2x+y+2z-19=0$

$t_2\! \! :\; \; 2x+y+2z-\left(2\cdot \frac{-26}{3}+ \frac{-1}{3}+2\cdot \frac{-35}{3}\right)=0$

$t_2\! \! :\; \; 2x+y+2z+41=0$

Brugbart svar (0)

Svar #8
27. oktober 2015 af mathon

Det går sgu godt i dag :-)

Du begik ikke en fejl i 1)

Centrums afstand til planen:
$d=\frac{\left | 2\cdot (-2)+3+2\cdot (-5)-19 \right |}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=\frac{30}{3}=10$

hvorfor planen er tangentplan (som du havde fundet). andet tangetplan.

Skæringscirklen udarter til at punkt, som har radius 0.

Parallelle tangentplaner:

standardform:

$ax+by+cz-(a\cdot x_o+b\cdot y_o+c\cdot z_o)=0$

$t_1\! \! :\; \; 2x+y+2z-\left(2\cdot \frac{14}{3}+ \frac{19}{3}+2\cdot \frac{5}{3}\right)=0$

$t_1\! \! :\; \; 2x+y+2z-19=0$ identisk med $\alpha$

$t_2\! \! :\; \; 2x+y+2z-\left(2\cdot \frac{-26}{3}+ \frac{-1}{3}+2\cdot \frac{-35}{3}\right)=0$

$t_2\! \! :\; \; 2x+y+2z+41=0$

Skriv et svar til: Vektor – kugle og plan.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.