Matematik

Dobbelt integrale

07. november 2015 af Heptan - Niveau: Universitet/Videregående

D er afgrænset af cirklen med center i (0,0) og radius 2.

Bestem arealet af D med dobbeltintegralet

$\iint_{D}^{\nothing}(2x-y)\ dA$

Jeg tror godt jeg kan integrere dobbeltintegraler, men hvilke grænser skal jeg angive?

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. november 2015 af peter lind

x²+ y² = 4

Svar #2
07. november 2015 af Heptan

Hov, det er et volumen, ikke et areal.

Svar #3
07. november 2015 af Heptan

Kan det passe at grænserne er

$-\sqrt{4-x^2}\leq y \leq \sqrt{4-x^2}$

$-\sqrt{4-y^2}\leq x \leq \sqrt{4-y^2}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
07. november 2015 af peter lind

Nej

-2 ≤ x ≤ 2

-kvrod( 4-y²) ≤ y ≤ kvrod(4-y²)

Du kan også bytte om på hvad der er x og y

Det svarer til at du først integrer med hensyn til altaå i en lodret linje på inde i cirklen til grænserne for cirklen

Svar #5
07. november 2015 af Heptan

$\int_{-2}^{2}2x-y\ dx=[x^2-yx]^2_{-2}=-4y$

Herefter integreres der for -√(4-x²) < y < √(4-x²)

$\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}-4y\ dy=[-2y^2]^{-\sqrt{4-x^2}}_{\sqrt{4-x^2}}=-2(4-x^2)+2(4-x^2)=0$

Hvad gør jeg når noget af voluminet er negativt? Skal jeg dele integralet op i to dele?

Brugbart svar (0)

Svar #6
07. november 2015 af peter lind

Du skal integrere i omvendt rækkefølge. Først med hensyn til y og dernæst med hensyn til x.

Hvis du skal have det geometriske rumfang er det |2x-y| duskal integrere

Svar #7
07. november 2015 af Heptan

Skal man så gange med 2?

$2\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}}2x-y\ dy=2[2xy-\frac{1}{2}y^2]^{\sqrt{4-x^2}}_{0}=2\cdot(2x\sqrt{4-x^2}-\frac{1}{2}(4-x^2))\\ \\ = 4x\sqrt{4-x^2}-(4-x^2)$

Herefter mht. x:

$\int_{-2}^{2}4x\sqrt{4-x^2}-(4-x^2)dx=\int_{-2}^{2}4x\sqrt{4-x^2}\ dx - \int_{-2}^{2}(4-x^2)dx \\ \\ =\int_{u(-2)}^{u(2)}-2\sqrt{u}\ du - \int_{-2}^{2}(4-x^2)dx = 2[-\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}]^{u(2)}_{u(-2)} -[4x-\frac{1}{3}x^3]^2_{-2} \\ \\ =2[-\frac{2}{3}(4-x^2)^{\frac{3}{2}}]^{2}_{-2} -[4x-\frac{1}{3}x^3]^2_{-2} \\ \\ = 0 - \frac{32}{3}$

Svar #8
07. november 2015 af Heptan

Findes der andre typer rumfang end det geometriske? Der står nemlig 0 i min facitliste.

Brugbart svar (1)

Svar #9
07. november 2015 af Soeffi

#8. Man skal integrere et område der afgrænses af et plan, en cylinder og x-y aksen. På grund af symmetri bliver dette integrale 0.

Vedhæftet fil:Screen Shot 2015-11-07 at 11.24.39 PM.png

Brugbart svar (1)

Svar #10
07. november 2015 af peter lind

Hvis din facitliste siger 0 betyder det at du bare skal foretage integrationen og altså udelade det numeriske tegn

Du kan ikke bare uden videre erstatte den nedre grænse med 0 og derefter gange med 2.

Skriv et svar til: Dobbelt integrale

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.