rumgeometri

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. november 2015 af mathon

Vektor
$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AE}$ er normalvektor til delplanen ABFE.

Brugbart svar (0)

Svar #2
13. november 2015 af mathon

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AE}=\begin{pmatrix} 0\\6 \\ 0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} -1\\1 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 30\\0 \\ 6 \end{pmatrix}=6\cdot \begin{pmatrix} 5\\0 \\ 1 \end{pmatrix}$

hvorfor en bekvem normalvektor til sidefladen ABFE
er
$\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix} 5\\0 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\alpha 's$ ligning:
$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{ AP}=0$

$\begin{pmatrix} 5\\0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-6\\ y-0 \\z-0 \end{pmatrix}=0$

$5\cdot (x-6)+1\cdot z=0$

$\alpha \! \! :\; \; 5x+ z-30=0$

Brugbart svar (0)

Svar #3
13. november 2015 af mathon

Vinklen mellem fladerne ABFE og ABCO er lig med vinklen mellem deres normalvektorer.

En normalvektor til ABCO er $\bigl(\begin{smallmatrix} 0\\0 \\ 1 \end{smallmatrix}\bigr)$
hvoraf
$\cos(v)=\frac{\begin{pmatrix} 5\\0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0\\0 \\ 1 \end{pmatrix}}{\sqrt{26}}=\frac{1}{\sqrt{26}}$

$v=\cos^{-1}\left (\frac{1}{\sqrt{26}} \right )=78{,}69^{\circ}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
13. november 2015 af mathon

C's afstand fra planen $\alpha \! \! :$
$dist(\alpha ,C(0,6,0))=\frac{\left | 5\cdot 0+0-30 \right |}{\sqrt{26}}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
13. november 2015 af mathon

Diagonalerne og OF's skæringspunkt:

parameterfremstilling for BD:
$\begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix}=\begin {pmatrix} 1\\1 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 5\\5 \\ -5 \end{pmatrix}$

parameterfremstilling for OF:
$\begin{pmatrix} x\\y \\z \end{pmatrix} =t\cdot \begin{pmatrix} 5\\5 \\ 5 \end{pmatrix}$

   Skæring kræver:
                                                         $\begin {pmatrix} 1\\1 \\ 5 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 5\\5 \\ -5 \end{pmatrix}=t\cdot \begin{pmatrix} 5\\5 \\ 5 \end{pmatrix}$
   dvs
                                                         5t-5s=1
                                                         5t+5s=5
                                                         5t+5s=5
   hvoraf
                                                         $s=\tfrac{2}{5}$ og $t=\tfrac{3}{5}$

   med stedvektor
                                                        $\overrightarrow{OS}=\frac{3}{5}\cdot \begin{pmatrix} 5\\5 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\3 \\ 3 \end{pmatrix}$
   og
                                                        S(3,3,3)

Brugbart svar (0)

Svar #6
13. november 2015 af Soeffi

Geogebra konstruktion. "afstandCl" er afstanden fra C til planen alfa. Vinklen mellem planen Alfa og bundfladen kom også til af hedde α ved en fejl.

Kuglens centrum er konstrueret som skæringen mellem linjen, som er angivet ved en parameterfremstilling og en linje, som dels går gennem sidefladens diagonal-skæringspunkt, dels står vinkelret på sidefladen.

Vedhæftet fil:Screen Shot 2015-11-13 at 12.01.28 PM.png

Brugbart svar (0)

Svar #7
13. november 2015 af Soeffi

#6 Se evt. også http://tube.geogebra.org/m/2054259.

Brugbart svar (0)

Svar #8
13. november 2015 af mathon

Kugleligningen
bestemmes af
                                              $r=z=3+t=\frac{5}{2}$
       hvoraf
                                              $t=-\frac{1}{2}$

       og
                                              $\begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix}_{centrum}=\begin{pmatrix} 3\\3 \\ 3 \end{pmatrix}+\left ( -\frac{1}{2} \right )\cdot \begin{pmatrix} 0\\0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\3 \\ \frac{5}{2} \end{pmatrix}$

Brugbart svar (0)

Svar #9
13. november 2015 af Soeffi

#6 Kuglens centrum...

...det var vist noget sludder. Set fra siden kan opgaven løses som et plangeometrisk problem:

Pyramidestubbens højde er 5 og dens sidelængde foroven er 4. Ved hjælp af plangeometri ses det, at z-værdien til P er: 5 - 2·tan[(1/4)(360º-2·78,69º)] = 2,56.

Vedhæftet fil:Screen Shot 2015-11-13 at 3.07.40 PM.png

Brugbart svar (0)

Svar #10
13. november 2015 af Soeffi

#7 Rettelse til #6...

Se evt. http://tube.geogebra.org/m/2056715 i stedet.

Brugbart svar (0)

Svar #11
13. november 2015 af Soeffi

#9 Kuglens centrum 2:

Kuglens centrum P kan også findes ved hjælp af afstandsformlen.

Først bemærkes at P's x- og y-koordinat er 3; det følger af linjens parameterfremstilling. P ligger på linjen i lige stor afstand fra planen Alfa, der indeholder en af sidefladerne og planen Beta givet ved: z = 5, som indeholder pyramidestubbens topflade. Man behøver ikke at betragte mere end en sideflade på grund af symmetri.

Før man opstiller afstandsformlerne skal man finde en normalvektor til hver plan som peger indad i pyramidestubben. Alfa har formlen 5x + 0y + 1z - 30 = 0, der har normalvektoren (5,0,1). Denne peger ud fra stubben. Man vælger derfor at vende den og får (-5,0,-1) som en normalvektor for alfa, der peger indad i stubben. For topplanen z = 5 (0·x + 0·y + 1·z - 5 = 0) ses let, at normalvektoren (0,0,-1) peger nednad og dermed indad.

Afstandsformlen for P og alfa er (idet xp = 3 som nævnt):

$\frac{-5x_p-z_p+30}{\sqrt{25+1}}=\frac{-5\cdot 3-z_p+30}{\sqrt{26}}=\frac{15-z_p}{\sqrt{26}}$

Afstandsformlen for P og Beta er 5 - z_p.

I begge formler er benyttet, at tælleren i afstandsformlen er positiv, når normalvektoren peger til den side af planen som P befinder sig. Dermed kan numerisktegnene hæves.

Vi har nu at de to afstande er ens og finder heraf P's z-værdi:

$\frac{15-z_p}{\sqrt{26}}=5-z_p\Rightarrow z_p=\frac{-15+5\sqrt{26}}{\sqrt{26}-1}=\underline{\underline{2,56}}$

Svar #12
15. november 2015 af hrmogensen (Slettet)

Tak for hjælpen til jer begge. Meget hjælpsomme!

#4

Så afstanden er 5,9?

Til jer begge så er jeg ret forvirret over, hvad der sker i delspørgsmål e). Hvad er 2,56 eksempelvis? Skulle man ikke finde et koordinatsæt til kuglens centrum? Og som mathon har opskrevet det, er følgende så svaret på delspørgsmål e)?

$\begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix}_{centrum}=\begin{pmatrix} 3\\3 \\ 3 \end{pmatrix}+\left ( -\frac{1}{2} \right )\cdot \begin{pmatrix} 0\\0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\3 \\ \frac{5}{2} \end{pmatrix}$

Brugbart svar (0)

Svar #13
15. november 2015 af Soeffi

#12
...Skulle man ikke finde et koordinatsæt til kuglens centrum? Og som mathon har opskrevet det, er følgende så svaret på delspørgsmål e)?

$\begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix}_{centrum}=\begin{pmatrix} 3\\3 \\ 3 \end{pmatrix}+\left ( -\frac{1}{2} \right )\cdot \begin{pmatrix} 0\\0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\3 \\ \frac{5}{2} \end{pmatrix}$

x = 3 og y = 3 er givet idet P skal ligge på en linje med retningsvektoren (0,0,1), dvs. en lodret linje.

z-værdien kan findes ved en plangeometrisk konstruktion i et af pyramidestubbens symmetriplaner. Her bliver pyramidestubben til en trapez og kuglen til en cirkel.

Man kan nu ved hjælp af to sider i trapezen finde cirklens centrum, det er vist i #9.

Der findes i øvrigt et andet punkt på linjen - på nedenstående tegning kaldet T - som også ligger i lige stor afstand fra de to planer. Alle punkter ,som har lige stor afstand til to givne planer, ligger selv i to planer. Disse to planer halverer vinklerne (dels den stumpe, dels den spidse) vinkel mellem de to planer. Hvor det ene af planerne skærer linjen ligger P og hvor det andet plan skærer ligger T.

Koordinaterne for P kan aflæses af figuren.

Vedhæftet fil:Screen Shot 2015-11-15 at 1.05.33 PM.png

Brugbart svar (0)

Svar #14
15. november 2015 af Soeffi

#13. Tegning, der viser de blå vinkelhalveringsplaner til de to røde planer, der indeholder side og top af pyramidestubben. De blå planer, der indeholder punkter i rummet med lige stor afstand til de røde planer, skærer den lodrette linje i P og T som vist.

Vedhæftet fil:Screen Shot 2015-11-15 at 1.33.25 PM.png

Svar #15
15. november 2015 af hrmogensen (Slettet)

#14

Wow.. Hvad kaldes det program?

Så dine tegninger giver bare et mere præcist z-koordinat, ikke sandt?

Så sættet af koordinater til kuglens centrum er altså bare P(3, 3, 2.56)

Brugbart svar (0)

Svar #16
15. november 2015 af Soeffi

#15...#14
1) Wow.. Hvad kaldes det program?

2) Så dine tegninger giver bare et mere præcist z-koordinat, ikke sandt?

3) Så sættet af koordinater til kuglens centrum er altså bare P(3, 3, 2.56)

1) Programmet kaldes Geogebra, det kan downloades gratis.

2) Den eksakte z-værdi er den, som står i #11.

3) Ja.

Svar #17
15. november 2015 af hrmogensen (Slettet)

Cool! Tusinde tak. I har begge været til stor hjælp. Må lige få fingrene i dette program - det laver nogle virkelig gode konstruktioner!

Brugbart svar (0)

Svar #18
15. november 2015 af mathon

Jeg læste opgaveteksten forkert i sidste spørgsmål, hvorfor min kugleradius er forkert $2{.}5\: \rightarrow \: 2{.}56$

Matematik

Skriv et svar til: rumgeometri