Skarp til matematik? Omskrivning af udtryk

Du mener formentlig 1/( x(x+t))

Den kan opskrives som 1/( x(x+t))  = A/x+B/(x+t)

Man finder nemmest A og B ved at gange  med x(x+t). Gør man det får man

1 = A(x-t) + Bx

Dette udtryk skal gælde for alle x. Du finder nemmest A og B ved at sætte henholdsvis x=0 og x=-t

Det er selvfølgelig rigtigt. Det var det jeg mente :)

Jeg kan ikke rigtig se hvad du gør. Må jeg bede dig om at komme med en lidt detaljeret beskrivelse af hvad du faktisk gør og hvorfor? 

Jeg takker! Det er faktisk gået op for mig hvad du gør.

Du starter med at sige, at udtrykket kan opsplittes i to brøker, som vi ikke helt ved hvad er endnu. Det er det vi skal prøve at finde. Brøkerne er

1/( x(x+t))  = A/x + B/(x+t)

hvor A og B er ukendte. Vi finder dem ved at skaffe brøkerne en fællesnævner, så vi ender ud med nævneren for den oprindelige brøk. Derved er det muligt at sætte tæller=1, og herudfra finde A og B.

1 = A(x-t) + Bx.

Problemet er nu, at vi har en ligning med to ubekente. Den siger du at vi kan løse ved at indsætte x=0 til at starte med. Men har vi så ikke kun findet A og B for x=0 (og ikke alle x)?

2. linje.   Jeg påstår at st brøken kan omskrives til det der står på højre side.

Som skrevet i 3 linje. Jeg ganger udtrykket på højre side med x(x+t). Det gør jeg fordi det giver nogle nemme beregninger.  På højre side kan x forkortes ud på det første led og x+t på det andet led. Resultatet bliver det der står på højre side i næstsidste linje

#3 Ligningen skal gælde for alle x også for x = 0 og x= -t. Jeg bruger metoden med at sætte x= 0 og x= -t simpelthen fordi det giver nemme beregninger. Hvis du foretrækker det kan du da godt gange ind i parentesen og får så (A+B)x -At. For at dette skal være identisk med højre side får du ligningerne A*B = 0 og -At = 1. Det giver noget ekstra regnearbejde,

#5

- Jeg kan godt se at det giver nemme beregninger, men kan vi så være sikre på at vi har fundet A og B for alle x. Hvordan kan der argumenteres for at det er for alle x, og ikke kun x=0 og x=-t?

- Jeg tror vi har lavet en fejl. Bliver det ikke 1 = A(x+t) + Bx og ikke 1 = A(x-t) + Bx ?

- Hvad kalder man metoden der tillader ogs at opsplitte brøken, da jeg også skal forklare dette?

Du har ret i at jeg har en fortegnsfejl #5.

Du kan se af den sidste del af #5 at der er en løsning for alle x. Generelt får du et lineært udtryk i x på venstre side. Koefficienten til x skal være 9 og konstanten skal give tallet på venstre side, så der må være en løsning

1 = A(x-t) + Bx , x=0 :    => a=1/t

og 

1 = A(x-t) + Bx, x=-t: => b=1/y

Har jeg hermed fundet at 1/(y*(y+t)) = (1/t)/x + (1/y)/(y+t)? Det skulle vidst ikke være løsningen...

Nu er det dig, der har en fortegnsfejl ellers

1 = A(x+t) + Bx

x = 0

A*t = 1 <=> a = 1/t

x = -t

1 = B(-t)   B = -1/t

Her er lidt fra museets gemmer, som er evigt gyldigt:

Mange tak d'herrer!

Vi har nu udtrykket:   1/( x(x+t))  = (1/t)/x + (-1/t)/(x+t)

Jeg ønsker at integrere venstre side. Faktisk ønsker jeg at finde det bestemte integral med grænserne x og x0. Jeg har regnet på det og endte med resultatet:

1/t*(ln(x)-ln(x0)) - 1/t(ln(x+t)-ln(x0+t)

Jeg kan gange hhv. 1/t og -1/t ind, men det gør udtrykket endu mere kompliceret. Er det det rigtige udtryk jeg er nået frem til? Jeg havde ellers forventet et meget simplere udtryk..

Hov, der var nogle ting jeg overså, da jeg regnede på #11.

Jeg ender rent faktisk med ln(x/x0) - ln(x+t)/ln(x0+t) 

Jeg tænker at jeg kan gøre det simplere ved at indsætte e på begge ind.

Det bliver: x/x0 -e^{(ln(x+t)*ln(x0+t)^-1}, som jeg har lidt svært ved at reducere..

Du kan ikke reducere på den måde. Du kan evt. reducere yderligere ved at bruge reglen ln(a/b) = ln(a)-ln(b). Jeg synes ikke det bliver mere overskueligt af det, så lad det være som det er.

Okay, så må jeg lade det stå :)

Det jeg har omtalt indtil videre er en venstre side af lighedstegnet for et udtryk der integreres på begge sider.

Altså når der integreres på begge sider, ender jeg med:

ln(x/x0) - ln(x+t)/ln(x0+t) = kc², hvor k er en anden konstant end t, og c er den anden variabel.

Kan du se hvordan man kan ende med en løsnign der lyder:

x= (-t+kvr.(t²+4e^c+k))/(2) . Men kvr. mener jeg kvadratrod, jeg kunne bare ikke skrive det ind

Så skal du reducere ved at bruge ln(a)-ln(b) = ln(a/b) = k*c² .  Opløfter resultatet i potensen e får du a/b = e^{k*c^2}.  Ud fra venstre side kan du så isolere x. Er du sikker på det med c og k? Jeg kan ikke få det til at stemme.

Undskyld, på højre side skal der stå kc (ikke opløftet i anden)

Altså jeg starter med udtrykket:

1/t*(ln(x/x0) - 1/t(ln(x+t)/ln(x+t)) = kc

og løsningen skulle gerne være:

x= (-t+kvr.(t²+4e^c+k))/(2)

Det ser stadig ikke rigtig ud.

venstre side kan omskrives til ln( (x(x0+t))/( x0(x+t) )

Okay. Lad os glemme alt det andet ovenover. (Fordi jeg ændrer på konstanternes navne- lidt irrelevant)... 

1/c(ln(x)-ln(x0)) - 1/c(ln(x+c)-ln(x0+c)) = kt

Har lige fået at vide at der mangler et k i løsningen, ellers er det det jeg skal nå frem til...

Håber fra hjertet af du kan få det til at passe

ganger du over med c får du c*k*t. Det der er tilbage kan omslrives til en logaritmefunktion med en indmad, der indeholder x. Hvis du skal af med logaritmefunktion skal du  du have e i en potens. På højre side bliver det  e^c*k*t og det stemmer jo ikke med det du siger er løsningen