Hvorfor er df/dx (1) ikke lig 0?

Funktionen er ikke konstant 1 i nogen omkreds af x=1. Se på grænseværdierne fra venstre og højre. For at en funktion er differentiabel i et punkt, skal funktionens afledte fra venstre og højre skal være enige i punktet. Husk at vi definerer en funktions afledte netop vha. grænseværdier - vi er ikke interesserede i funktionens værdi i punktet - vi er interesseret i opførslen af funktionen omkring punktet:

For et simpelt eksempel, så se på funktionen

her er det måske mere klart at vi bare har "snydt" os til en overkomplicering af funktionen f(x) = x² og funktionen derfor "selvfølgelig" ikke har afledt 0 i x = 1.

#0 Vedhæftet er et eksempel. Hvorfor er det, at df/dx (1) ikke er lig 0?

Hvorfor skulle den være 0?

#2

#0 Vedhæftet er et eksempel. Hvorfor er det, at df/dx (1) ikke er lig 0?

Hvorfor skulle den være 0?

Trickeriet består i at narre den studerende til at tro at funktionen er konstant i punktet x = 1, dvs. den studerende kommer fejlagtigt til at differentiere stykvis: .

Hej Therk.

Mange tak for godt svar.

Jeg tror, det er fordi, jeg halter med forståelsen af begrebet "aflede". Hvis jeg bliver bedt om at finde den aflede for f(x) = X^2, er svaret jo blot 2x,

men f.eks. til ovenstående, skal jeg tjekke kritiske punkter også?

Trickeriet består i at narre den studerende til at tro at funktionen er konstant i punktet x = 1, dvs. den studerende kommer fejlagtigt til at differentiere stykvis: [\inline \mathrm d1/\mathrm dx = 0] .

Hvad menes der med, at den er konstant i punktet x=1? At værdierne på begge sider antager samme y-værdi som i x=1?

Hmm ja, det er faktisk lidt ligesom i de højere dimensioner, hvor vi skal undersøge de kritiske punkter om de er minimum eller maksimum, hvis vi vil finde et globalt minimum - i fx saddelpunkter er de to variable ikke enige i om det er et minimum eller maks og det er derfor ikke et globalt min. eller maks.

#5

Hvad menes der med, at den er konstant i punktet x=1? At værdierne på begge sider antager samme y-værdi som i x=1?

"Konstant i punktet x = 1" var måske også lidt heuristisk sagt at funktionen skal "vende" eller være konstant i en omegn tæt på x (tænk epsilon/delta, hvis du har lært det). Måske kan jeg dog lidt bedre forklare mig, igen, med et eksempel. Tag funktionen

Den er klart differentiabel overalt i hvert fald undtagen de to punkter, hvor funktionen skifter mellem de to cases. Det interessante for denne funktion er om den også er differentiabel i de to punkter . Det undersøger vi så ved at se om de to funktioner er enige i differentialkvotienten i punkterne. 1 har naturligvis afledte 0 overalt. Funktionen sin(x) har dog også afledt 0 i så i det punkt er funktionen kontinuert, differentiabel! I det andet punkt går det dog knap så godt. Jeg har plottet funktionen herunder.

Det er altså aldrig direkte klart om en funktion er differentiabel i punkter, hvor forskriften skifter case, selvom den består stykkevis af differentiable funktioner. De skal altid behandles med nøjsommelighed. Det kan tit være en god ide at plotte funktionen, hvis du er i dimensioner, der er til at gøre det ved. :) Hvis du plotter din funktion i #0 og kun ser på plottet, vil du selv synes det mærkeligt at funktionen skulle have afledt 0 i x = 1.

Jeg håber det gav mening!

Fedt svar, det kunne jeg virkelig bruge til noget. Desværre må vi ikke plotte noget som helst til eksamen. Til forståelsen tænker jeg dog, det er fint. Kan du anbefale et program eller er det blot at bruge WA (der kan jeg dog ikke plotte flere funktioner på en gang, så tænker, det er et no go)?

Plottet er også kun for din egen skyld, så hvis du har adgang til det, kan det tit hjælpe en del. Jeg kan anbefale Maple, Matlab, (til dels) R. De to første programmer kræver licens, men det har de fleste danske universiteter, så vidt jeg ved. Wolfram Alpha kan godt plotte flere funktioner på én gang,

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%28[2x%2Cx^2]%2Cx%3D-1..3%29

og kan også plotte piecewise-funktioner,

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%28piecewise%28{{2x-1%2Cx%3C1}%2C{x^2%2Cx%3E%3D1}}%29%2Cx%3D-2..4%29

så det er bare at bruge det, hvis du har internetadgang og er vant til at bruge WA!