Bestem forskriften for f (eksponentiel funktion UDEN HJÆLPEMIDLER)

f(x)=b*a^x

f(4)=    b*a⁴ =3       =>   lnb+4lna=ln3

f(6)=    b*a⁶ =27     =>   lnb+6lna=ln3

Træk de 2 ligninger fra hinanden, så har du lna=ln3-ln27=ln(1/9).

Brug så exponentialfunktionen på begge sider.

#2 - Den er faktisk brugbar den information du får i #1

y = b·a^x

ln y = ln b + x·ln a   --> som jo netop er en lineær funktion: y = ax + b

Den kan derefter løses som to ligninger med to ubekendte..

f(4) = 3 bliver i dette tilfælde:
ln 3 = ln b + 4·ln a

og f(6) = 27 bliver til:
ln 27 = ln b + 6·ln a   --->> 27 kan skrives som 3³ og derfor kan man skrive:
3·ln 3 = ln b + 6·ln a

De to ligninger med to ubekendte er nu:

 ln 3 = ln b + 4·ln a
3·ln 3 = ln b + 6·ln a

Dette omskriver vi til:

ln b = ln 3 - 4·ln a
ln b = 3·ln 3 - 6·ln a

Vi sætter lig hinanden:

ln 3 - 4·ln a = 3·ln 3 - 6·ln a

Isolere ln a

2·ln a = 3·ln 3 - ln 3 = 2·ln 3 ⇔ ln a = ln 3 ⇔ a = 3

----

Nu mangler du bare én parameter:

y = b·a^x
f(4) = 3

3 = b·3⁴ ⇔ b = 3/3⁴ = 3^-3...

Du har dermed:

y = 3^-3·3^x = 3^x-3

_{^{(Man er ikke dygtig til matematik hvis man bare kender formlerne, men man er meget dygtig hvis man kan se logikken i matematikken)}}

Tusind tak for dit svar, men 

2·ln a = 3·ln 3 - ln 3 = 2·ln 3 

Jeg forstår ikke hvordan du når frem til det sidste lighedstegn, altså =2*ln(3)

hvordan kan du få det til det ud fra den ligning der står før? 2·ln a = 3·ln 3 - ln 3

2·ln a = 3·ln 3 - 1·ln 3 = 2·ln 3

Ligesom hvis du har 3k - 1k = 2k

Sagt med ord: Du har tre ln(3) og du trækker én ln(3) fra, du har da to ln(3)

Tuuuuusind tak!

Jeg vil prøve at give det et skud med en simpel forklaring. 

Du får at vide, at f(4) = 3 og f(6) = 27. Ud fra dette kan du altså aflure, at du har punkterne P(4,3) og Q(6,27), som ligger på grafen. 
Nu skal du have fat i en formel, som DU SKAL kende til prøven uden hjælpemidler. For eksponentielle funktioner gælder det nemlig, at:

I dette tilfælde har vi derfor at:

 =  = 

Indsættes dette nu i en af forskrifterne haves det at:

Og derfor:

Nu kan b let findes:

Da haves forskriften: 

Bevis for formlen a = ^{x₂ - x₁}√(y₂/y₁) med udgangspunkt i #1 og #3
(en god idé at vise til en eventuel mundtlig eksamen da den viser at du har styr på regnereglerne)

y₁ = ba^x₁
y₂ = ba^x₂

ln på begge sider:

ln y₁ = ln b + x₁·ln a
ln y₂ = ln b + x₂·ln a

ln b = ln y₁ - x₁·ln a
ln b = ln y₂ - x₂·ln a

ln y₁ - x₁·ln a = ln y₂ - x₂·ln a
-x₁·ln a + x₂·ln a = ln y₂ - ln y₁
(x₂ - x₁)·ln a = ln(y₂/y₁)
ln(a^{x₂ - x₁}) = ln(y₂/y₁)
a^{x₂ - x₁} = y₂/y₁
a = ^{x₂ - x₁}√(y₂/y₁)

For konstanten b:

y₁ = b·a^x₁ ⇔ b = y₁/a^x₁ = y₁·a^-x₁