Matematik

Partikulære løsning

13. maj 2016 af nejvelda - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Hvordan bestemmer man den partikulære løsning til differentialligningen:

$\frac{d^2y}{dx^2}+4\frac{dy}{dx}-5y=3x^2$

Jeg har bestemt den homogene løsning, og får : $y_{H}=C1*e^(^l^a^m^b^d^a^1^*^x^)+C_{2}*e^(^l^a^m^b^d^a^2^*^x^) \Leftrightarrow$

$y_{H}=C1*e^(^1^*^x^)+C_{2}*e^(^2^*^x^)$ $y_{H}=C1*e^(^1^*^x^)+C_{2}*e^(^-^5^*^x^)$

Men hvordan bestemmer man den partikulære løsning

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. maj 2016 af VandalS

Du kan løse den ved gættemetoden. Da højresiden er et polynomium er den partikulære løsning også et polynomium, og da venstresiden indeholder y(x) led vil det være et andengradspolynomium af formen $y_{par}(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c$ , hvor koefficienterne er ukendte. De kan så bestemmes ved at indsætte polynomiet i differentialligningen og sammenligne koefficienterne på venstre- og højresiden og vælge a,b og c så de stemmer overens.

Svar #2
13. maj 2016 af nejvelda

Hvorfor er det at man skal sammenligne koefficienterne? Og hvad skal de stemme overens med? :/

Brugbart svar (1)

Svar #3
14. maj 2016 af VandalS

$\frac{d^2y_{par}}{dx^2}+4\frac{dy_{par}}{dx}-5y_{par}=2a+4 \left(2ax+b \right)-5 \left( ax^2+bx+c \right)$ .

For at $y_{par}$ er en løsning til differentialligningen skal dette så være lig 3x^2+0x+0 , så du har tre ligninger med tre ubekendte som du kan løse for at få a,b og c.

Brugbart svar (1)

Svar #4
14. maj 2016 af AskTheAfghan

Hvis man løser y'' + py' + qy = k(x), starter man at sætte k(x) = 0 for at finde den generelle løsning y_h til den homogene ligning. Derefter gætter man y_p, således at y_p'' + py_p' + qy_p = y'' + py' + qy, altså y_p'' + py_p' + qy_p = k(x). Den generelle løsning for den inhomogene ligning er dermed y = y_h + y_p. For at gætte y_p fornuftigt, skal man blot kigge på hvordan k(x) ser ud. Prøv at læse mere om det i din bog, hvis du har en.

Sæt (p,q) = (4,-5) og k(x) = 3x². Du har fundet dit y_h. Nu mangler du at finde y_p. Da k(x) er et polynom, kan vi gætte en løsning y_p som et polynom. Vi gætter y_p = ax² + bx + c. Her skal du finde a, b og c, således at y_p'' + 4y_p' - 5y_p = 3x². Start med at bestemme y_p'', 4y_p' og -5y_p, så læg de tre sammen. Summen skal være lig med 3x². Her kan du vurdere værdierne af a, b og c.

Brugbart svar (0)

Svar #5
17. maj 2016 af AskTheAfghan

Jeg giver svaret her, så du og andre måske kan lære af det.

Trin I) Her er {λ | λ² + 4λ - 5 = 0} = {1, -5}, så y_h = C₁e^x + C₂e^-5x, for alle C₁, C₂ ∈ R.

Trin II) Her er y_p = ax² + bx + c, så y_p'' + 4y_p' - 5y_p = ... = -5ax² + (8a - 5b)x + (2a - 5c + 4b).

Da den skal være lig med 3x², må der gælde -5a = 3, 8a - 5b = 0 og 2a - 5c + 4b = 0.

Derved fås (a, b, c) = (-3/5, -24/25, -126/125). Det betyder, at hvis

y_p = -(3/5)x² - (24/25)x - 126/125, så vil y_p'' + 4y_p' - 5y_p = 3x². Du kan tjekke det selv.

Trin III) Den generelle løsning for den inhomogene ligning er dermed

y = y_h + y_p = C₁e^x + C₂e^-5x - (3/5)x² - (24/25)x - 126/125, for alle C₁, C₂ ∈ R.

Skriv et svar til: Partikulære løsning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.