Matematik

2. ordens differentialligning med diskriminat=0

16. juni 2016 af kinke123 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej.
Jeg søger hjælp til denne opgave:

(a) Bestem den løsning til differentialligningen y''+4y'+4y = 0 som opfylder y'(1) = 0 og y(1) = −1.

Jeg har bestemt diskriminanten til at være 0:

D=b^2-4ac=4^2+4*1*4=16-16=0

Jeg finder den ene rod:

$r=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{2*1}=-2$

Den generelle løsning er:

$y=Ae^{rt}+Bte^{rt} = Ae^{(-2)t}+Bte^{(-2)t}$

Hvad gør jeg nu?

(b) Lad P2(x) betegne Taylorpolynomiet af grad 2 for cos(x) udviklet omkring punktet 0. Vis at |P2( 1 2 ) − cos( 1 2 )| < 0, 025.

jeg er endnu ikke nået hertil, men jeg føler ikke jeg har den rigtige viden til at angribe problemet.

På forhånd tak!

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. juni 2016 af AskTheAfghan

a) Du skal løse to ligninger med to ubekendte, y '(1) = 0 og y(1) = -1 mht. A og B.

b) Står der |P₂(12) - cos(12)| < 0.025?

Svar #2
16. juni 2016 af kinke123 (Slettet)

Det skulle have været

$\left | P_2(\frac{1}{2})-cos(\frac{1}{2}) \right |$

Svar #3
16. juni 2016 af kinke123 (Slettet)

Men når jeg prøver at løse de to ligninger, da siger mit cas-værktøj at det ikke er muligt..
Samtidigt kan jeg ikke regne det i hovedet med alle de $e^{(-2)}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. juni 2016 af VandalS

(a) Jeg får A= e^2, B=-2 e^2

Brugbart svar (0)

Svar #5
16. juni 2016 af AskTheAfghan

#2 Start med at bestemme P₂(1/2).

#3 Du kan godt regne det ud i hånden. Hvis y(t) := Ae^-2t + Bte^-2t, så er y '(t) = (-2Bt - 2A + B)e^-2t. Bestem y(1) og y '(1). Løs så ligningssystemet.

Svar #6
16. juni 2016 af kinke123 (Slettet)

hvis y(1)=-1 da må vi have:

$-1=A*e^{-2}+B*e^{-2}= \frac{A}{e^2}+\frac{B}{e^2}$

Eller? Kan ikke rigtigt se mig ud af det her..

Brugbart svar (0)

Svar #7
16. juni 2016 af VandalS

Den er god nok. Hvad er problemet?

Svar #8
16. juni 2016 af kinke123 (Slettet)

Jamen hvordan kan jeg komme videre herfra?

$-1-\frac{B}{e^2}=\frac{A}{e^2}$

$A=\frac{(-1-\frac{B}{e^2})}{e^2}$ Men det er jo langt fra A=e^2

Brugbart svar (0)

Svar #9
16. juni 2016 af AskTheAfghan

#8 -1 = y(1) = (A + B)e^-2; 0 = y '(1) = -(2A + B)e^-2.

På højresiden har du 2A + B = 0. Benyt denne ligning til at bestemme A eller B på den anden ligning.

Svar #10
16. juni 2016 af kinke123 (Slettet)

eller skal man sige?

$-1=\frac{A}{e^2}+\frac{B}{e^2}=\frac{A+B}{e^2}$

Svar #11
16. juni 2016 af kinke123 (Slettet)

# 9 Forstår ikke hvad du mener med at 2A+B kan være lig med 0?
Der står jo noget helt andet i din ligning? der står jo at 0 = -(2A+B)e^-2
Undskyld mine manglende evner, men er også træt nu..

Svar #12
16. juni 2016 af kinke123 (Slettet)

y '(t) = (-2Bt - 2A + B)e^-2t

Du får denne, men hvordan kommer det ekstra B med ind i den ligning?

Brugbart svar (0)

Svar #13
16. juni 2016 af VandalS

$y '(t) = (-2Bt - 2A + B)e^{-2t} \Rightarrow \\ 0=y '(1) = (-2B\cdot 1 - 2A + B)e^{-2 \cdot 1} = -(B+2A)e^{-2}$

Dividerer du på begge sider med $-e^{-2}$ kommer du frem til #9

Brugbart svar (0)

Svar #14
16. juni 2016 af VandalS

Du kan også løse det som et lineært ligningsystem ved matrixregning, hvis du finder det nemmere.

Svar #15
16. juni 2016 af kinke123 (Slettet)

jeg har fuldstændigt tabt tråden - kan virkelig ikke ikke få det her til at fungere!!

Jeg kommer aldrig frem til A = 2e^2, for når jeg dividerer det ud. så forsvinder det jo og jeg får b=-2A
eller A=-B/2

Svar #16
16. juni 2016 af kinke123 (Slettet)

jeg ved ikke hvad matrixregning er desværre. Jeg er virkelig dårlig til matematik og kan ikke se mig ud at det. Det er reeksamen i opgaveskrivning, har bestået alt andet matematik. jeg kan bare ikke det her med differentation, taylors og maximum og minimum!

Brugbart svar (0)

Svar #17
16. juni 2016 af VandalS

Dine sidste to resultater i #15 er rigtige. Derefter skal du så bare tage en af de to værdier (underordnet hvilken af dem) og indsætte i den anden ligning (y(1)=-1) . Dermed udgår den ene af de to variable, og du har nu én ligning med én ubekendt tilbage.

Brugbart svar (0)

Svar #18
16. juni 2016 af Soeffi

#0

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2016-06-16 kl. 23.37.56.png

Svar #19
16. juni 2016 af kinke123 (Slettet)

y '(t) = (-2Bt - 2A + B)e-2t

Forstår ikke hvor det enkelte B kommer fra i denne udregning?
Det får jeg ikke med i nogle af mine udregninger!

Svar #20
16. juni 2016 af kinke123 (Slettet)

Er der ikke en venlig sjæl som vil lave udregningen så jeg har en chance for at kunne komme videre?

Forrige 1 2 Næste

Der er 25 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.