Bestem rødder for polynomiet og algebraisk mulitplicitet

Find rødderne for de første to polynomier. Disse udgør tilsammen alle rødderne i P, og så er det blot et spørgsmål om at tælle hver rods multiplicitet. 

Har fundet rødderne i r(z) og s(z), men hvad menes med 'at tælle hver rods multiplicitet'? Kan du give et eksempel? Hvordan vides det desuden at r(z)*s(z) kun indeholde deres inbyrdes rødder tilsammen?

Et n-grads polynomium har altid n komplekse rødder talt med multiplicitet. I eksempelvis  er  rod, og denne har multiplicitet 2 da polynomiet kan faktoriseres som .

I dit tilfælde er P produktet af et 2. grads og et 3. grads polynomium, så P er et 2+3=5. grads polynomium og har derfor fem komplekse rødder talt med multiplicitet. Kald rødderne i r(z) for r₁, r₂ og rødderne i s(z) for s₁, s₂ og s₃. Nulreglen giver nu at  for , da enten   eller . Disse fem tal er derfor rødder i P, og da P har præcis fem komplekse rødder talt med multiplicitet kan der ikke være andre. Slutteligt siger vi, at hvis et tal optræder mere end en gang blandt disse fem tal har den tilsvarende rod har algebraisk multiplicitet lig det antal gange, tallet optræder.

Du kan også tælle multiplicitet ved at faktorisere polynomiet i 1. grads polynomier, hvilket altid er muligt med komplekse rødder - multipliciteten vil så være det antal gange, parantesen med roden optræder i faktorisering, jf. eksemplet ovenfor.