Matematik

Bevis for en base d repræsentation.

08. oktober 2016 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej.
Jeg skal vise en base ,d, repræsentation af ,a, er et udtryk på formen, som kan læses nedenfor.
Opgaven lyder svært for mig, og jeg kan ikke en gange begynde med at løse opgaven.
Vil nogen derude hjælpe med opgaven?
På forhånd tak.

Lad a, d ∈ N, d > 1. En base d repræsentation af a er et udtryk på formen:

a = a_0*d^0 + a_1 *d^1+a_2 *d^2+a_3*d^3 +.......a_n *d^n

hvor $a_0, . . . , a_n \in N_0$ og $0 \leq a_i < d$ for alle $i \leq n$ , og $a_n \neq 0$ . (Bemærk: d^0 =1 .)

Lad d > 1 været givet. Vis at ethvert tal a ∈ N har en entydig base repræsentation.

Hint til (c): Du skal både vise eksistens og entydighed. Fuldstændig induktion ellervelordningsprincippet er velegnede. Eksistensdelen kan eventuelt gribes an efter følgendeskitse: Givet a, lad n ∈ N₀ være den største potens af d sådan at $d^n \leq a$ , Brug division med rest sætningen på og d^n .

og brug din induktionsantagelse (eller minimalitetsantagelse) på resten.

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. oktober 2016 af peter lind

Lad t = a₀ <d Dette kan skrives som a₀*d⁰. Led med højere værdier af potensen vil gøre t for stor så den er entydig.

Sæt dernæst t = a₀*d₀+a₁d¹Dividerer du med d får du a₁ med a₀ til rest. t kan altså entydigt skrives a0 + a₁*d

Brug dette på samme måde i induktionsbeviset

Brugbart svar (0)

Svar #2
08. oktober 2016 af peter lind

Havde desværre anbragt et billed et forkert sted

Svar #3
08. oktober 2016 af Rossa

Jeg kan ikke se hvorfor du bruger t?
Mener du " base case" for n=0? så er a=a₀ og hvis man dividerer med ,d⁰, så vid man a₀.
Og, n = 1, så får man a = a₀ * d⁰ +a₁ *d¹, og hvis man dividerer med d, så får man a₀ +a₁*d^{1 (Hvordan?)}

Så skal man også man for n= k+1.?

Jeg er desværre lidt uklar

Brugbart svar (0)

Svar #4
08. oktober 2016 af peter lind

t er jo blot et navn, som jeg bruger i min forklaring.

Jeg regner konsekvent med base d. Jeg dividerer intet sted med d⁰=1. Jeg dividerer udelukkende med d.

Jeg går systematisk frem med t

først t = a₀ dernæst t = a₀ + a₁*d1

Dernæst skal man antage at t kan skrives for t = a₀ + a₁ *d¹+a₂ *d²+a₃*d³ +.......a_n *dⁿ for t < dⁿ⁺¹ og derfra bevise at det også gælder for t≤dⁿ⁺¹

Svar #5
08. oktober 2016 af Rossa

Hvis man divderer med ,d, så vil man ikke få en grad mindre i potensen?

Hvis man dividerer med ,d, så vil man ikke få (a₀/d) og derfra en mindre i d?

Brugbart svar (0)

Svar #6
08. oktober 2016 af peter lind

Det er korrekt

Svar #7
08. oktober 2016 af Rossa

Hvilke betydning for beviset har divisionen med d?

Brugbart svar (0)

Svar #8
08. oktober 2016 af peter lind

Så får du reduceret det til et polynomium i y, som er en grad lavere

Svar #9
08. oktober 2016 af Rossa

Det har jeg forstået, at man får en polynomium, som er en grad lavere, men hvad er mening at komme en grad lavere, og hvad ville betyde for formlen er rigtig?

Brugbart svar (0)

Svar #10
08. oktober 2016 af peter lind

Du skal jo bruge induktion. Hvis du kan få et tal reduceret så n bliver en mindre kan du bruge det til induktionsbeviset

Svar #11
08. oktober 2016 af Rossa

Hvis jeg dividerer jeg med d, så vil jeg få, at
$a_{ny} = \frac{a_0}{d}+ a_2 * d^1 +a_3 * d^2 +a_4*d^3 +......a_n *d^{n-1}$ .
Et problem er udtrykket (a₀/d).
Hvordan kan man bruge induktionen til at bevise det?

Jeg har læst mange side på internetet, men jeg kan ikke se det, du peger på

Brugbart svar (0)

Svar #12
08. oktober 2016 af peter lind

Det er en heltalsdivision så du får ikke a₀/d derimod får du at a₀ er resten ved divisionen

Med dine betegnelser skal du antage at den holder for t<dⁿ Når du så foretager divisionen på et tal hvor der er et led med d får du jo at den holder. Sagt på en anden måde

betegner du t_n med et tal hvor det højeste led er dⁿ får du ved divisionen at t_n kan skrives som d*t_n-1 + a₀

Svar #13
08. oktober 2016 af Rossa

Så på den måde er

$t_0 = \frac{a_0}{d}= a_0 \\ t_1 = \frac{a_0*d^0+a_1*d^1}{d}= a_0 +a_1\\ t_2 = \frac{a_0*d^0+a_1*d^1a_0*d^2}{d}= a_0 +a_1+a_2*d\\$

Og det kan gå op til t_n ?

Brugbart svar (1)

Svar #14
09. oktober 2016 af peter lind

Det har jo intet at gøre med hvad jeg har skrevet. t_n er et n'te grads polynomium i d.

Du har muligvis glemt hvad der menes med heltalsdivision så her en repetition:

Et tal t kan entydig skrives som t = q*d +r hvor q er kvotienten, d er devisor og r er resten r <d. Alle tal er naturlige tal eller 0

Ved divisionen af t_n+1 med d får du q er et n'te gradspolynomium i d, som ifølge forudsætningen er entydig. Dermed får du at t_n+1 entydig kan skrives som et n+1'te grads polynomium i d

Skriv et svar til: Bevis for en base d repræsentation.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.