Matematik

int ved sub

11. november 2016 af bokaj123 - Niveau: A-niveau

integralet af ln(1+√x)dx

u=1+√x

du/dx = 1 / 2*√x -> dx=du / (1/ (2*√x)) = du*2*√x

problemet er vel at ved sub vil man gerne have dx og x til at forsvinde på den ene side men jeg har stadig √x til at stå tilbage...

ln(u)*du*2*√x

hvilket ikke er så godt.....

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. november 2016 af mathon

$u=1+\sqrt{x}$

$\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\mathrm{d}u\cdot 2\sqrt{x}=\mathrm{d}x$

$\mathrm{d}u\cdot 2(u-1)=\mathrm{d}x$

hvoraf:
$\int\ln\left (1+\sqrt{x} \right )\mathrm{d}x=2\cdot \int \ln(u)(u-1)\mathrm{d}u$

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. november 2016 af fosfor (Slettet)

Start med at gange integranden med 1, og brug partiel integration, hvor 1-tallet integreres:

∫ (ln(1+√x) dx = ∫ (1) * (ln(1+√x) dx = (x + k) ln(1+√x) - ∫ ((x + k) 1/(1+√x) * 1/(2√x) dx =
(x + k) ln(1+√x) - ∫ ((x + k) / (2 (√x + x))) dx

Vælg k = -1, og plus med (√x + x) - (√x + x) = 0 i tælleren

(x - 1) ln(1+√x) - ∫ ((x - 1 + (√x + x) - (√x + x)) / (2 (√x + x))) dx =
(x - 1) ln(1+√x) - ∫ (1/2 + (x - 1 - (√x + x)) / (2 (√x + x))) dx =
(x - 1) ln(1+√x) - ∫ 1/2 dx - ∫(-1 - √x) / (2 (√x + x))) dx =
(x - 1) ln(1+√x) - ∫ 1/2 dx - ∫(-√x - x) / (2 √x (√x + x))) dx =
(x - 1) ln(1+√x) - ∫ 1/2 dx - ∫ (-1 / (2 √x)) dx =
(x - 1) ln(1+√x) - x/2 + √x

Brugbart svar (0)

Svar #3
11. november 2016 af mathon

#1 fortsat:

hvor
$\int (u-1)\ln(u)\mathrm{d}u=\left ( \tfrac{1}{2}u^2-u \right )\ln(u)-\int \left ( \tfrac{1}{2}u^2-u \right )\cdot \frac{1}{u}\mathrm{d}u=$

$\left ( \tfrac{1}{2}u^2-u \right )\ln(u)-\int \left ( \tfrac{1}{2}u-1\right )\mathrm{d}u=$

$\left ( \tfrac{1}{2}u^2-u \right )\ln(u)-\left ( \tfrac{1}{4}u^2-u+C_1 \right )$
hvoraf:

$\int\ln\left (1+\sqrt{x} \right )\mathrm{d}x=2\cdot \int \ln(u)(u-1)\mathrm{d}u=\left ( u^2-2u \right )\ln(u)-\left ( \tfrac{1}{2}u^2-2u+C_2 \right )=$

$\left (\ln(u)-\tfrac{1}{2} \right )u^2+2u\left ( 1-\ln(u) \right )+C=$

$\left (\ln(1+\sqrt{x})-\tfrac{1}{2} \right )\left ( 1+\sqrt{x} \right )^2+2\left ( 1+\sqrt{x} \right )\left ( 1-\ln(1+\sqrt{x}) \right )+C$

Brugbart svar (0)

Svar #4
11. november 2016 af AMelev

#0 Du har helt ret i, at du ikke kan bestemme $\int ln(1+\sqrt{x})dx$ bare med substitution.
Passer din profil? - partiel integration er ikke kernestof på HTX.
Tjek lige, at opgaven er skrevet rigtigt op.

Svar #5
11. november 2016 af bokaj123

F =ln(u)

G=(u-1)²

f = 1/u

g=2(u-1)

så får

(u-1)²*(1/u) - ∫(u-1)² * (1/u) du er det rigtig?

Skriv et svar til: int ved sub

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.