Matematik

En dygtig person

22. november 2016 af Chemistrykemi (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej, er der en dygtig person som kan hjælpe mig med denne opgave?

Skærmbillede 2016-11-22 kl. 20.50.54.png

Jeg ved at:
$\frac{\partial }{\partial x}=y-3x^2y^2$

$\frac{\partial }{\partial y}=x-2x^3y$

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2016-11-22 kl. 20.50.54.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
22. november 2016 af mathon

Af indre stationære punkter
kræves bl.a.
$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=y-3x^2y^2=0$ og $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=x-2x^3y=0$

hvoraf
$\left ( x,y\right ) =\left ( 0,0 \right )$

Beregn
$\frac{\partial^{\, 2} f(x,y)}{\partial x^2}$ $\frac{\partial^{\, 2} f(x,y)}{\partial y^2}$ $\frac{\partial^{\, 2} f(x,y)}{\partial x \partial y}$

Svar #2
22. november 2016 af Chemistrykemi (Slettet)

Tak fordi du vil kigge på det :)
Men hvordan finder jeg x og y. Synes ligninger ser meget komplicerede ud?
Kan jeg skrive dem som henholdsvis:
y(1-3yx^2) og x(2-2yx^2)

Brugbart svar (0)

Svar #3
22. november 2016 af mathon

lokalt maksimum i (0,0)
kræver yderligere
$\frac{\partial^{\, 2}f(x,y) }{\partial x^2}<0\; \; \wedge\; \; \frac{\partial^{\, 2}f(x,y) }{\partial x^2}\cdot \frac{\partial^{\, 2}f(x,y) }{\partial y^2}-\frac{\partial^{\, 2}f(x,y) }{\partial x\partial y }$

Brugbart svar (1)

Svar #4
22. november 2016 af mathon

noteret lettere:
lokalt maksimum i (0,0)
kræver yderligere
$f_{xx}<0\; \; \wedge\; \;f_{xx}\cdot f_{yy}-{f_{xy}}^2>0$ ( > 0 er glemt i #3)

Svar #5
22. november 2016 af Chemistrykemi (Slettet)

Men jeg kal finde maximums værdien- lidt ligsom dette eksempel:
Skærmbillede 2016-11-22 kl. 21.44.52.png

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2016-11-22 kl. 21.44.52.png

Brugbart svar (0)

Svar #6
22. november 2016 af mathon

En nærmere analyse viser, at der er saddelpunkt i (0,0).

Maksimum skal altså findes på randkurven.

Brugbart svar (1)

Svar #7
23. november 2016 af mathon

Optimering over rektangel:

1.    x=0 og $y\in\left [ 0,1 \right ];$ her er $f(0,y)=0\cdot y-0^3\cdot y^2=0$
2.    x=1 og $y\in\left [ 0,1 \right ];$ her er $f(1,y)=1\cdot y-1^3\cdot y^2=-y^2+y$
   med maks-værdi $\tfrac{1}{4}$ og min-værdi

3. y=0 og $x\in\left [ 0,1 \right ];$ her er $f(x,0)=x\cdot 0-x^3\cdot 0^2=0$
4. y=1 og $x\in\left [ 0,1 \right ];$ her er $f(x,1)=x\cdot 1-x^3\cdot 1^2=-x^3+x$
med maks-værdi $\tfrac{2\sqrt{3}}{9}$ og min-værdi
Konklusion: f har maks-værdi som antages i $\left ( \tfrac{\sqrt{3}}{3},1 \right )$ og min-værdi som antages en masse steder.

Svar #8
23. november 2016 af Chemistrykemi (Slettet)

Jeg er glad nu for dette er jeg også kommet frem til, men det eneste jeg ikke er med på er det sidste, som du skriver:
Konklusion: f har maks-værdi som antages i $\left ( \tfrac{\sqrt{3}}{3},1 \right )$ og min-værdi som antages en masse steder.
Hvorfor er maks i punktet ${\color{Red} \left ( \tfrac{\sqrt{3}}{3},1 \right )}$ ?

Svar #9
23. november 2016 af Chemistrykemi (Slettet)

Håver du vil hjælpe mathon, #7.

Brugbart svar (1)

Svar #10
23. november 2016 af mathon

4.    y=1 og $x\in\left [ 0,1 \right ];$ her er $f(x,1)=x\cdot 1-x^3\cdot 1^2=-x^3+x$
   hvis maksimalværdi fås
   for
      $\left (-x^3+x \right ){}'=0$

-3x^2+1 =0

3x^2=1

$x=\sqrt{\tfrac{1}{3}}=\tfrac{1}{\sqrt{3}}=\tfrac{\sqrt{3}}{3}$

Svar #11
23. november 2016 af Chemistrykemi (Slettet)

Mnage tak, for det Mathon. Når jeg plotter punktet ${\color{Red} \left ( \tfrac{\sqrt{3}}{3},1 \right )}$ ligner det ikke et makimumspunkt.
Ved du om det er meningen at det skal se således ud:
Skærmbillede 2016-11-23 kl. 14.52.38.png

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2016-11-23 kl. 14.52.38.png

Svar #12
23. november 2016 af Chemistrykemi (Slettet)

Eller ved du om det er meningen, at det skal se således ud Marthon, #10?

Brugbart svar (0)

Svar #13
24. november 2016 af mathon

Ovenfor i #6 er anvist, at der ikke findes indre stationære maksimumspunkter.

Derfor giver det ikke mening at forsøge på at 'tegnefinde' indre maksimumspunkter.

Indtegner du derimod randkurven (rektanglet) og finder det ovenfor omtalte maksimumspunkt, giver det mening.

Skriv et svar til: En dygtig person

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.