Matematik

Cirkel`s punkter

24. december 2016 af DeepOcean - Niveau: A-niveau

En cirkel har ligningen:

x 2 +y 2 − 6x + 4y = 12

a) Du skal vise, at punktet A(0,2) er beliggende på cirklens omkreds.

På omkredsen ligger punkterne B og C således, at A , B og C er vinkelspidser i en trekant ABC , der er ligesidet.

b) Du skal bestemme koordinaterne til punkterne B B og C C .

c) Du skal bestemme arealet af et cirkelafsnit, som begrænses af en side i trekanten og en del af cirklens omkreds

a er meget nem men resten har ikke noget idea !? løsningen skal ikke være i Geogebra

Brugbart svar (0)

Svar #1
24. december 2016 af StoreNord

b) Du skal omformulere cirklens ligning til normalform, så du kan aflæse cirklens centrum.

Tegn derefter en linje gennem A og centrum. Beregn denne linjes hældning i grader. Tegn en ny linje gennem centrum; denne linje er drejet 60 grader. Tegn også en tredje linje forskudt endnu 60 grader

Find disse to linjers udtryk f(x)=ax+b, og beregn deres skæring med cirklen.

Brugbart svar (0)

Svar #2
24. december 2016 af peter lind

b) Længden af siden i trekanten er den samme som radius i cirklen, så find en ligning for cirklen med centrum i A og radius som i den oprindelige cirkel. Find dernæst de to cirklers skæringspunkt

c) find arealet af cirklen og trekanten. Deres differens er 3 gange det søgte areal.

Lav en tegning med trekant og cirkel. Det giver et godt overblik

Brugbart svar (0)

Svar #3
25. december 2016 af peter lind

Rettelse til #2

Siden i trekanten er kvrod(3)*radius. Se den trekant som dannes af to radier til to af pukterne for eks. A og B samt linjestykket AB. Centervinklen er 360º/3 = 120º. De to andre vinkler er så 30º. Brug sinusrelationerne på den trekant.

Brugbart svar (0)

Svar #4
25. december 2016 af mathon

Tegning og sidelængden $s=5\sqrt{3}$
giver for afstandene fra til og

$(x-0)^2+(y-2)^2=5^2\cdot 3$ som sammen med cirklens ligning
(x-3)^2+(y+2)^2=5^2 giver to ligninger med to ubekendte

hvoraf:
$(x,y)=\left ( \frac{9-4\sqrt{3}}{2};\frac{-8-3\sqrt{3}}{2} \right )$

$(x,y)=\left ( \frac{9+4\sqrt{3}}{2};\frac{-8+3\sqrt{3}}{2} \right )$

for punkterne og

Brugbart svar (0)

Svar #5
25. december 2016 af mathon

c)
c) Du skal bestemme arealet af et cirkelafsnit, som begrænses af en side i trekanten og en del af
cirklens omkreds:

Brugbart svar (0)

Svar #6
25. december 2016 af mathon

c)
…som er $\frac{1}{3}$ af helcirklens areal minus arealet af en ligesidet centertrekant:

$A_{cirkelafsnit}\frac{\pi \cdot r^2}{3}-\frac{1}{2}\cdot r^2\cdot \sin(120^\circ)=\left (\frac{\pi }{3}-\frac{\sin(60^\circ)}{2} \right )r^2=\left (\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4} \right )r^2=$

$\left (\frac{4\pi -3\sqrt{3}}{12}-\frac{\sqrt{3}}{4} \right )\cdot 5^2$

Brugbart svar (0)

Svar #7
25. december 2016 af mathon

tastekorrektion:
$\left (\frac{4\pi -3\sqrt{3}}{12} \right )\cdot 5^2$

Svar #8
25. december 2016 af DeepOcean

Tak for jeres Hjælp. jeg skal sætte mig i den for at forstå den hele

Svar #9
25. december 2016 af DeepOcean

jeg forstår ikke hvrdan du har fået $s=5\sqrt{3}$ har du en tegningen for det eller en mellemregninger !

Brugbart svar (0)

Svar #10
25. december 2016 af StoreNord

Der er jo altid flere måder at løse en opgave på, afhængigt af hvad man har lært eller hvad læreren ønsker. Nogle lærere er måske tilfredse med en blyantstegning, mens andre vil have det i Word eller endnu bedre i Geogebra (eller de vil ikke have dèt, men en beregning).

Hvis læreren har fortalt om transformation eller drejning, er det måske det, man bør bruge:

Først transformerer man cirklens centrum over (0,0) ved at addere dens inverse: (3,-2)+(-3,2)=(0,0).

Dèt gør man også med A.

Derefter drejer man A' 120 grader omkring(0,0) for at få C'.

C' = (-3cos(120°) - 4sin(120°), -3sin(120°) + 4cos(120°))

Så drejer man A -120 grader får at få B'.

B' = (-3cos(-120°) - 4sin(-120°), -3sin(-120°) + 4cos(-120°))

Disse 2 punkter kan man så transformere tilbage ved at subtrahere (-3,2).

Se vedhæftede figur: Cirkel`s punkter.png

P.S. Jeg fandt metoden på :

https://books.google.dk/books?id=MOlejifnbI4C&pg=PA69&lpg=PA69&dq=Geometrisk+drejning+af+punkt&source=bl&ots=jLbFo0v1sm&sig=iWWx7jeuiXblyJnvLPl8DJv_mH8&hl=da&sa=X&ved=0ahUKEwj0_ceg6I3RAhWG2ywKHT87Co4Q6AEIRzAI#v=onepage&q=Geometrisk%20drejning%20af%20punkt&f=false

Vedhæftet fil:Cirkel`s punkter.png

Brugbart svar (0)

Svar #11
26. december 2016 af mathon

Fra folkeskolegeometrien:
i en 30° - 60° trekant er den største katete lig med $\sqrt{3}$ gange den halve hypotenuse.

Skriv et svar til: Cirkel`s punkter

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.