Matematik

Differentialkvotient med brøk

21. februar 2017 af Paxulol (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hej. Jeg er ved at læse op på differentialkvotienter, og føler egentlig, at jeg har meget godt styr på det.

Meeen, men, men... Så kommer der en funktion der hedder følgende:

$f(x) = \frac{1}{9x} + 8x, X_{0} = 0$

Bestem differentialkvotienten i f fra punktet 2.

Hvad pokker skal jeg gøre ved de 1/9x?

En god forklaring vil være værdsat, så jeg også kan regne den ud en anden gang :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. februar 2017 af Heptan

Hvad vil det sige at X₀ = 0, og hvad er "punktet 2"?

Du kan differentiere 1/9x på følgende måde. Lad os starte med at skille brøken ad.

$\frac{1}{9x}=\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{x}$

1/x er det samme som x^-1.

$\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{9}x^{-1}$

Normalt differentierer man jo fx x² ved at trække 2 ned og trække 1 fra eksponenten. Det kan generaliseres til (xⁿ)' = nx^n-1. Lad os gøre det samme med x^-1.

$\left ( \frac{1}{9}x^{-1} \right )'=\frac{1}{9}\cdot (-1)x^{-1-1}=\frac{1}{9}\cdot (-1)x^{-2}=-\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{x^2}=-\frac{1}{9x^2}$

Svar #2
21. februar 2017 af Paxulol (Slettet)

Hov! Jeg klokkede i det! Der skulle stå X₀ = 2, og x>0

Når jeg regner en "almindelig" funktion ud som fx $\small f(x) = 3x^{_{3}} + 5x$ , så ville jeg jo bruge tretrinsreglen, for at finde frem til $\small f^{'}$ , ikke?

Er det så rigtigt forstået, at jeg ikke skal igennem det, når det er med en brøk?

Det er efterhånden 6 år siden jeg har haft om det, så det er sgu lidt rustent!

Brugbart svar (0)

Svar #3
21. februar 2017 af SuneChr

Man kan sagtens benytte tretrinsreglen til at bestemme differentialkvotienten af $\frac{1}{x}$
Man har da for alle x₀ ≠ 0 :

$\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\frac{\frac{1}{x_{0}+h}-\frac{1}{x_{0}}}{h}$

$=\frac{\frac{x_{0}-(x_{0}+h)}{x_{0}(x_{0}+h)}}{h}=\frac{-h}{hx_{0}(x_{0}+h)}$

$=\frac{-1}{x_{0}(x_{0}+h)}\: \: \rightarrow \: \: -\, \frac{1}{x_{0}^{2}}\: \: \textup{for}\, \, h\, \rightarrow \, 0$

Brugbart svar (0)

Svar #4
21. februar 2017 af mathon

eller som du "synes" at have opfattet det:

$\left ( \frac{1}{9x} \right ){}'=\frac{-1}{\left (9x \right )^2}\cdot 9=-\frac{9}{9^2\cdot x^2}=-\frac{1}{9x^2}$

hvor dog #1 er nemmest
og
#3 er gennemførlig men "virker" klodset.

Svar #5
21. februar 2017 af Paxulol (Slettet)

Tak for svarende, de er virkelig værdsatte! Jeg forstår nu, hvordan $\small \frac{1}{9x}$ bliver til $\small -\frac{1}{9x^{2}}$ .

Det giver dog ikke mening, for mig, som det endelige resultat. Jeg får i opgaven at vide, at jeg skal finde differatialkvotienten fra punktet 3. Dvs. at X₀må være lig med 3. Hvordan kommer jeg videre her fra? Jeg mangler vel stadig at gøre brug af resten af ligningen: +8x? Jeg får 4 svarmuligheder, som ligger omkring 8 $\small \pm$ 0,01. Det ville være nemt at gætte på, at svaret er 8. Men hvorfor?

Brugbart svar (0)

Svar #6
21. februar 2017 af mathon

$f{\, }'(x)=-\frac{1}{9x^2}+8$

$f{\, }'(x_o)=f{\, }'(3)=-\frac{1}{9\cdot 3^2}+8=-\frac{1}{81}+8\approx 8{,}0$

Skriv et svar til: Differentialkvotient med brøk

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.