Matematik

Analyse 1 - fortætningspunkt

08. april 2017 af Stats - Niveau: Universitet/Videregående

Der er nogen ting jeg ikke forstår. Jeg skriver derfor først alle de relevante ting ned i latex og derefter stiller jeg spørgsmålet med fed skrift.

$\textbf{Fort\ae tningspunkt}\\ \textup{Talf\o lgen har det karakteristikum, at der findes ingen, en eller flere}\\ \textup{v\ae rdier, som en f\o lge kommer ofte t\ae t p\aa. S\aa danne v\ae rdier kalder}\\ \textup{vi fort\ae tningspunkter}$

$\textbf{Definition 1.}\\ \textup{Lad }\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} \textup{ v\ae re en reel }(eller\ kompleks)\textup{ talf\o lge. } a\in\mathbb{R}\ (eller\ a\in\mathbb{C})\\ \textup{er et fort\ae tningspunkt for } \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}\textup{, hvis der for alle }\epsilon>0\textup{ findes uendeligt}\\ \textup{mange }n\in\mathbb{N}\textup{ med }\left | a_n-a \right |<\epsilon.$

$\textbf{Eksempel 2}\\ \textup{Den reelle talf\o lge }\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}\textup{ givet ved}\\ \\ {\color{white}.} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a_n=\frac{1}{n}\ \ \ \ \ \ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}\\ \\ \textup{Har } a=0\textup{ som fort\ae tningspunkt. For at se dette, bem\ae rker vi, at for}\\ \textup{et givet } \epsilon>0\textup{ og for alle naturlige tal }n\textup{, som opfylder } n>\frac{1}{\epsilon} \textup{ (der er}\\ \textup{uendeligt mange v\ae rdier af }n),\textup{ g\ae lder der}\\ \\ {\color{white}.}\ \ \ \ \ \ \ \ \left | a_n-a \right |=\left | \frac{1}{n}-0 \right |=\frac{1}{n}<\epsilon$

Nu kommer første spørgsmål til eksemplet. Hvorfor skal n opfylde betingelsen n>1/ε? Jeg har en formodning om, at det har noget at gøre med parentesen.

Og så kan jeg ikke se hvordan denne definition og dermed slutresultatet på eksemplet kan viser at a = 0 er et fortætningspunkt for talfølgen. (Når dette er forklaret så har jeg endnu et spørgsmål) :)

Svar #1
08. april 2017 af Stats

Okay... Jeg tror jeg har forstået lidt af det... Definitionen fortæller os, at hvis a er et fortætningspunkt, så skal for alle ε>0 eksistere uendeligt mange n∈N (= {1,2,3,...}) hvor |a - a|<ε

Hvis vi vælger et ε = (et meget lille tal) så vil vi altid kunne finde et n som er meget stor og som gør at 1/n < ε

Er det rigtigt forstået?

Grunden til at man vil have at n>1/ε, det er blot en afpareringsstrategi? For hvis ε = 2, så har vi vha afpareringsstrategien at n>1/2 Altså, vi kan vælge n = 1 og dermed 1/n < ε ⇔ 1<2 (men vi kan også vælge n = 2,3,4,5,6,...) altså, uendelige mange valg af n.

- - -

Mvh Dennis Svensson

Brugbart svar (1)

Svar #2
08. april 2017 af AskTheAfghan

Lad (a_n) være en følge. Tallet a siges at være en fortætningspunkt for (a_n), hvis der findes en delfølge af (a_n) som konvergerer mod a. Formelt, a siges at være en fortætningspunkt for (a_n), hvis der for ethvert ε > 0 findes et naturligt N sådan at |a_φ(n) - a| < ε for alle n ≥ N. Her er (a_φ(n)) en delfølge af (a_n), hvor φ(n) : N → N er en strengt voksende afbildning.

For at kigge på dit eksempel, b_n = 1/n for alle n ≥ 1, kan du godt betragte følgen som en delfølge af sig selv. Du kan formelt vise, at b_n → 0 for n → ∞. Har man vist det, er 0 så en fortætningspunkt for (b_n). (Lad ε > 0 være givet. Vi ser først, at |b_n - 0| = 1/n. Vælg et naturligt N med N > 1/ε. Da er 1/n < ε for alle n ≥ N. QED.)

En følge behøver ikke at konvergere. Tag c_n = (-1)ⁿn/(n+1) for n ≥ 1. Følgen (c_n) konvergerer ikke, men den har to fortætningspunkter, nemlig -1 og 1. Overvej hvorfor. (Hint: kig på c_n for n lige og n ulige).

Skriv et svar til: Analyse 1 - fortætningspunkt

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.