Andengrads ligning

Hvis du bruger formlerne:

og

vil du ende ud med

og

og

men du vil umiddelbart ikke kunne løse ligningen, da du ikke kender værdien af k

Andre ret mig dog, hvis jeg tager fejl :)

#0 Du skal formodentlig finde det k, der gør, at andengradsligningen kun har een løsning?!

Hvis der kun skal være en løsning, skal d=0

Problemet er dog, at hvis d er lig 0, så er k også lig 0, og så vil du ikke kunne løse ligningen.

"finde en løsning til en ligning"         kan ofte være betyde: "find begge løsningerne".

Her kan vi kun finde dem symbolsk; men hvad gør det?

Vi kan dele diskriminanten op i de tre tilfælde:
k² + 4k < 0  ⇒  - 4 < k < 0
k² + 4k = 0  ⇒    k = - 4   (k = 0 er ikke defineret)
k² + 4k > 0  ⇒    k < - 4   ∨  k > 0

# 5 fortsat
Vi ser da:
For ethvert k i intervallet   - 4 < k < 0                   vil 2.gradsligningen ikke have reelle rødder,
                                       for   k = - 4                    vil 2.gradsligningen have én reel rod
                  og                 for   k < - 4   ∨  k > 0    vil 2.gradsligningen have to forskellige reelle rødder.    
 

# 6 fortsat
Man vil v.h.a. toppunktsformlen se, at mængden af parabler med nævnte forskrift hvor k ≠ 0, alle vil
have toppunkt i

             
Endvidere vil for k < 0 parablerne ligge med grenene nedad og for k > 0 ligge med grenene opad.
Vi kan sige om en andengradsfunktion, hvor koefficienten til x² og x er den samme, og hvor konstanten er - 1, at det grafiske billede ligger symmetrisk m.h.t. linjen x =  - ¹/₂

# 7 fortsat
Man har endvidere, at fællesmængden for alle parabler med nævnte forskrift, hvor k ≠ 0, er
de to punkter  { (- 1 ; - 1) , (0 ; - 1) }