Funktion

Lad  x =  2:      f (2) + 2 f (- 1) = 2
Lad x = - 1:      f (- 1) - f (2) = - 1
Løs de to ligninger. Find f (- 1) og f (2)  og benyt dem til forskriften for en ret linje.
I b) skal man sikkert finde mindst én funktion, som opfylder kravet.

Er ikke helt med. Skal jeg isolere f(2) og f(-1)?

Hvis dette er tilfældet:

  svarer til, at 

 svarer til, at 

Desuden, hvorfor skal vi bestemme f(-1)? Må ærligt indrømme at jeg er lidt tabt.

Hejsa,

mht #1) jeg tror ikke det er løsningsmetoden man skal bruge. Bemærk at hvis x₁ er ét reet tal så har vi ligningen f(x₁)+x_1*f(1-x₁)=x₁. Hvis x₂ er et andet reelt tal har vi ligningen f(x₂)+x₂*f(1-x₂)=x₂. Altså har vi at gøre med et ligningssystem (eller en klasse af ligninger). Hint: løs b) først og dernæst bestemme f(2).

Hej Anders

Jeg kan godt se hvad du mener med at jeg skal løse opgave b først, men hvordan bestemmes en forskrift for f? Skal man ikke kende til nogle punkter?

Hej igen,

nej, at bestemme forskriften for din funktion f svarer til at løse ligningssystemet, hvor den ubekendte er f. 

Hvilke ligninger er det helt præcist jeg skal bruge til at løse dette ligningssystem?

Svaret i b) er

Det er ligningerne f(x)+xf(1-x)=x hvor x er et reelt tal. Du kender en metode til at løse ligningsystemer, nemlig via substitution: prøv z=1-x.

Fatter det stadigt ikke helt...

Okay, det er også et svær ligningssystem at løse.  Vi starter med  systemet f(x)+xf(1-x)=x hvor x er et reelt tal. Ved at substituere 1-x med z får vi f(1-z)+(1-z)f(z)=1-z. Vi omskriver ved brug af gængse regneregler og får så 

f(1-z)=1-z-(1-z)f(z)     (_*)

Vi substituere (endnu en gang) højresiden af (_*) ind i systemet og får 

f(x)+x[1-x-(1-x)f(x)]=x

Nu kan du sikker bestemme f(x) og få svaret i #7 og dernæst udregne f(2) :-)

Denne opgave er ikke typisk stillet i gymnasiet. Må jeg spørge hvilken bog opgaven står i?

Mange tak for hjælpen Anders.

Jeg ved desværre ikke hvilken bog opgaven står i, men den var stillet til os i vores aflevering. Havde siddet med den i et stykke tid og kunne ikke finde ud af at løse den.