Matematik

Cirklens centrum Matematik

25. september 2017 af alex7485 - Niveau: B-niveau

Hej! Jeg har en opgaver der lyder: 

Bestem cirklens ligning for den yderste cirkel, der går igennem punkterne A (3,38) og B (26,25) i det indlagte koordinatsystem. Det skal siges vi kender radius, den er på 25. 

Er lidt i tvivl om hvordan man løser den, min umiddebare første tanke var at bruge afstandsformlen og omskrive den så vi i stedet for afstanden finder centrum, men ved ikke helt hvordan man skal bære sig ad med det, håber i kan hjælpe! 

Tak på forhånd


Brugbart svar (0)

Svar #1
25. september 2017 af swpply (Slettet)

Cirkel ligningen er

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

hvor r betegner cirklens radius og (a,b) angiver cirklens centrum.

Så er det bare at bruge at punkterne A og B ligger på cirklen, til at opstille to ligninger med to ubekendte.

— Hvis du stadig ikke kan løse opgaven herfra, så skriv endelig :-)


Brugbart svar (0)

Svar #2
25. september 2017 af StoreNord

Centrum for den søgte cirkel ligger i afstanden 25 fra både A og B. Og med "yderste cirkel" menes vel den cirkel, der har centrum længst fra (0,0). Du mangler kun at kende dette centrum.


Svar #3
25. september 2017 af alex7485

Okay så jeg har opstilt 2 ligninger; 

(x-3)2+(y-38)2 = 252

(x-26)2+(y-25)2 = 252

Spørgsmålet er hvad jeg nu skal gøre med disse ligninger, har svært ved at løse ligninger med 2 ubekendte, hvis det er det som der skal gøres :)


Brugbart svar (0)

Svar #4
25. september 2017 af swpply (Slettet)

Du skal blot gøre som sædvanligvis:

\begin{align*} (3-a)^2 + (38-b)^2 &= 25^2 \\ (26-a)^2 + (25-b)^2 &= 25^2 \\ \end{align*}

Ganger vi nu samtlige parenteser ud, bliver ligningerne

\begin{align*} 9 - 6a +a^2 + 1444 - 76b + b^2 &= 625\\ 676 - 52a + a^2 + 625 - 50b + b^2 &= 625 \\ \end{align*}

Trækker vi nu den nederste fra den øverste har vi at

\begin{align*} 46a-26b+152 = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad b = \frac{23}{13}a+\frac{76}{13} \end{align*}

Substituere du nu denne oplysinng tilbage i - lad os sige - den øverste ligning

\begin{align*} 625 &= (3-a)^2+\bigg(38-\frac{23}{13}a-\frac{76}{13}\bigg)^2 \\ &= (3-a)^2+\bigg(\frac{418}{13}-\frac{23}{13}a\bigg)^2 \\ &= 9 - 6a + a^2 + \frac{174724}{169} - \frac{19228}{169}a + a^2 \\ &= a^2 - \frac{20242}{169}a +\frac{174724}{169} \qquad\qquad\qquad \Longrightarrow\qquad a = 9.3638 \ \vee\ a = 110.41 \end{align*}

Hvorfor cirklen enten kan have centrum i (9.36, 22.41) eller (110.41, 201.18).

Du er bedt om at finde den af de to cirkler der ligger fjernest fra (0, 0).


Brugbart svar (0)

Svar #5
25. september 2017 af swpply (Slettet)

RETTELSE: Jeg opdaget en regnefejl i ovenstående.

.....................................................................................................................

Du skal blot gøre som sædvanligvis:

\begin{align*} (3-a)^2 + (38-b)^2 &= 25^2 \\ (26-a)^2 + (25-b)^2 &= 25^2 \\ \end{align*}

Ganger vi nu samtlige parenteser ud, bliver ligningerne

\begin{align*} 9 - 6a +a^2 + 1444 - 76b + b^2 &= 625\\ 676 - 52a + a^2 + 625 - 50b + b^2 &= 625 \\ \end{align*}

Trækker vi nu den nederste fra den øverste har vi at

\begin{align*} 46a-26b+152 = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad b = \frac{23}{13}a+\frac{76}{13} \end{align*}

Substituere du nu denne oplysinng tilbage i - lad os sige - den øverste ligning

\begin{align*} 625 &= (3-a)^2+\bigg(38-\frac{23}{13}a-\frac{76}{13}\bigg)^2 \\ &= (3-a)^2+\bigg(\frac{418}{13}-\frac{23}{13}a\bigg)^2 \\ &= \frac{698}{169}a^2 - \frac{20242}{169}a +\frac{176245}{169} \qquad\Longrightarrow \\ 0 &= 349a^2 - 10121a + 35310 \quad\qquad \Longrightarrow\qquad a = 4.056 \ \vee\ a = 24.94 \end{align*}

Hvorfor cirklen enten kan have centrum i (4.056, 13.02) eller (24.94, 49.98).

Du er bedt om at finde den af de to cirkler der ligger fjernest fra (0, 0).


Brugbart svar (0)

Svar #6
25. september 2017 af swpply (Slettet)

Du kan også altid smide ligningerne ind i dit ynglings CAS-værktøj og få det til at løse dem for dig ;-)


Skriv et svar til: Cirklens centrum Matematik

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.