Matematik

Binom ligning

28. september 2017 af Uraniuuum (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej hvordan kan jeg løse følgende binome ligning: z^6 = -64 når der ikke er noget imaginært tal i og kun løsninger med positive reele tal skal findes

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. september 2017 af mathon

$\small z^6=\left ( z^3 \right )^2\geq 0$

Derfor har $\small z^6=-64$
ingen løsning $\small \small z\in \mathbb{R}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
28. september 2017 af SuneChr

Der eksisterer intet reelt tal, som opløftet i en lige potenseksponent resulterer i et negativt reelt tal.

Brugbart svar (0)

Svar #3
28. september 2017 af fosfor (Slettet)

Mener du løsninger med positiv realdel

Brugbart svar (0)

Svar #4
28. september 2017 af mathon

For $\small z \in\mathcc{C}$

$\small z =\left\{\begin{matrix} -\sqrt{3}+i\\ -\sqrt{3}-i \\\sqrt{3}+i \\ \sqrt{3}-i \\ 2i \\ -2i \end{matrix}\right.$

Brugbart svar (0)

Svar #5
28. september 2017 af ph1l (Slettet)

kan du vise hvordan du finder de 6 løsninger mathon? :)

Brugbart svar (0)

Svar #6
28. september 2017 af fosfor (Slettet)

Først tag sjetteroden af absolutværdien 64 på højresiden, som er 2.

Da -64 ligger på den negative reelle akse, så er en løsning at vælge det komplekse tal, der har absolut værdi 2 og argument 180 / 6 = 30 grader. (den tredje løsning i #4)

Flere løsninger findes ved at ændre argumenter med enter
360/6
360/6*2
360/6*3
osv.

da disse når du opløfter i 6 summer til noget der er 0 mod 2pi

Brugbart svar (0)

Svar #7
29. september 2017 af mathon

detaljer:
$\small z^6=-64=64e^{i\left ( \pi +p\cdot 2\pi \right )}\; \; \; \;$

$\small z=\left (64e^{i\left ( \pi +p\cdot 2\pi \right )} \right )^{\frac{1}{6}}=$

$\small z=64^{\frac{1}{6}}\cdot \left (e^{i\left ( \pi +p\cdot 2\pi \right )} \right )^{\frac{1}{6}}=$

$\small z=2\cdot e^{i\left ( \frac{\pi }{6} +p\cdot \frac{2\pi }{6}\right )}\; \; \; \; \; \; \; p\in\{0,1,2,3,4,5\}$

$\small p=0\! :$
$\small z=2\cdot e^{\frac{\pi }{6}}=2\left ( \cos\left ( \frac{\pi }{6} \right ) +i\cdot \sin\left ( \frac{\pi }{6} \right ) \right )=2\left ( \frac{\sqrt{3}}2+i\frac{1}{2}{} \right )=\sqrt{3+i}$

$\small p=1\! :$
$\small z=2\cdot e^{\frac{\pi+2\pi }{6}}=2\left ( \cos\left ( \frac{3\pi }{6} \right ) +i\cdot \sin\left ( \frac{3\pi }{6} \right ) \right )=2\left (0+i\right)=2i$

$\small p=2\! :$
$\small \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! z=2\cdot e^{\frac{\pi+4\pi }{6}}=2\left ( \cos\left ( \frac{5\pi }{6} \right ) +i\cdot \sin\left ( \frac{5\pi }{6} \right ) \right )=2\left (0+i\right)=2\left ( -\frac{\sqrt{3}}2+i\cdot \frac{1}{2} \right )=-\sqrt{3}+i$

$\small p=3\! :$
$\small \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! z=2\cdot e^{\frac{\pi+6\pi }{6}}=2\left ( \cos\left ( \frac{7\pi }{6} \right ) +i\cdot \sin\left ( \frac{7\pi }{6} \right ) \right )=2\left (0+i\right)=2\left ( -\frac{\sqrt{3}}2-i\cdot \frac{1}{2} \right )=-\sqrt{3}-i$

$\small p=4\! :$

$\small \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! z=2\cdot e^{\frac{\pi+8\pi }{6}}=2\left ( \cos\left ( \frac{9\pi }{6} \right ) +i\cdot \sin\left ( \frac{9\pi }{6} \right ) \right )=2\left (0+i\right)=2\left ( 0-i \right )=-2i$

$\small p=5\! :$

$\small \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! z=2\cdot e^{\frac{\pi+10\pi }{6}}=2\left ( \cos\left ( \frac{11\pi }{6} \right ) +i\cdot \sin\left ( \frac{11\pi }{6} \right ) \right )=2\left (0+i\right)=2\left ( \frac{\sqrt{3}}{2}-i\cdot \frac{1}{2} \right )=\sqrt{3}-i$

Brugbart svar (0)

Svar #8
29. september 2017 af mathon

tastekorrektion:

$\small p=0\! :$
$\small \small z=2\cdot e^{\frac{\pi }{6}}=2\left ( \cos\left ( \frac{\pi }{6} \right ) +i\cdot \sin\left ( \frac{\pi }{6} \right ) \right )=2\left ( \frac{\sqrt{3}}2+i\frac{1}{2}{} \right )=\sqrt{3}+i$

Skriv et svar til: Binom ligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.