Matematik

Målbart rum

03. oktober 2017 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej.
Er i gang med en opgave, og opgaven er svært at forstå, og det kan sagtes misforstås.

Opgaven vedhæftes som et billede.

I opgave (a) er jeg forvirret, da jeg kommer på to tanker:
$\mu(A)=0$
Fordi proposition:
$A_n \downarrow A, \ \mu(A_1) <\infty \Longrightarrow \mu(A)= \inf_{n\in \mathbb{N}} \mu(A_n)= \lim_{n \to \infty}\mu(A_n)$
men for Målbart rum har vi kun $\mu(\emptyset) =0$ , og det gør mig ussikkert.
Hvordan kan man angive et bevis eller et modeksampel ?

-----------------------------------------

I opgave (b) vil jeg bruge igen preposition, der viser:

$A_n \uparrow A, \ \Longrightarrow \mu(A)= \sup_{n\in \mathbb{N}} \mu(A_n)= \lim_{n \to \infty}\mu(A_n)$
Jeg forstår på den måde, at $\mu(A_n)\geq 1$ men her er jeg heller ikke sikkert på min påstande, og kan dermed ikke give et modeksampel.

----------------------

Vil nogen intelligent matematiker hjælpe med opgaverne, da jeg har ikke forstand på opgaverne?
På forhånd tak

Vedhæftet fil: Udklip.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
03. oktober 2017 af LeonhardEuler

Du er på rette spor i a’eren. Brug den sætning, som du har skrevet ind her. Og nej, der kan være andre mængder udover den tomme mængde som afbildes ind i 0. Tag for eksempel lebesgue-målet og alle singleton.

Svar #2
03. oktober 2017 af Rossa

Vil du udarbejde lidt mere på opgaverne?

Brugbart svar (1)

Svar #3
04. oktober 2017 af SådanDa

En ide til (b) kunne være at kigge $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ og lade

$A_n=(\pi-\frac{1}{n},\ \pi + \frac{1}{n})\cap\mathbb{Q}$ , altså A'erne er mængden af rationelle tal i mindre og mindre intervaller omkring pi.

Hvis man så lader µ være tællemålet, som fortæller hvor mange elementer, der er i en mængde får man at

$\mu(A_n)=\infty \ \forall n\in \mathbb{N}$ . (Bemærk at uendelig specielt er større end 1). Men

$A=\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\{\pi\}\cap\mathbb{Q}=\emptyset$

så $\mu (A)=0$ hvilket bestemt er mindre end 1.

Skriv et svar til: Målbart rum

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.