Matematik

Vinkel mellem linjer

30. oktober 2017 af Sidselerblank - Niveau: A-niveau

Hej,

Jeg har denne opgave, som jeg slet ikke kan finde ud af:

Linjen m er givet ved 2(x-1)+3y=0. Linjen l er givet ved (x,y) = (-3,2)+t*(-2,1). Altså som en parameterfremstilling.

a) Bestem den spidse vinkel mellem m og l

b) Bestem skæringspunktet mellem m og l

Brugbart svar (0)

Svar #1
30. oktober 2017 af StoreNord

Linje l går gennem (-3,2) og (-3,2)+5(-2,1)

Brugbart svar (0)

Svar #2
30. oktober 2017 af fosfor

Find en retningsvektor for begge linjer og sæt dem ind i formlen for vinklen mellem to vektorer.

Brugbart svar (0)

Svar #3
30. oktober 2017 af StoreNord

En retningsvektor for m kan gå fra x-skæring til y-skæring.
En retningsvektor for l:
$\binom{x}{y}=\binom{-3}{2}+t\binom{-2}{1}$ findes ved at sætte x=0 og finde t.
find så y(t), så har du y-skæringen også.
Så lægger du igen en vektor fra x-skæring til y-skæring.
Find så den spidse vinkel mellem vektorerne.

Brugbart svar (0)

Svar #4
30. oktober 2017 af StoreNord

#3 Lav en vektor fra denne y-skæring til (-3,2), og find så vinklen mellem vektorerne.

Brugbart svar (1)

Svar #5
30. oktober 2017 af mathon

En retningsvektor
for $\small m$
er $\small \overrightarrow{r}_m=\widehat{\begin{pmatrix} 2\\3 \end{pmatrix}}=\begin{pmatrix} -3\\2 \end{pmatrix}$

En retningsvektor
for $\small l$
er $\small \overrightarrow{r}_l=\begin{pmatrix} -2\\1 \end{pmatrix}$

en vinkel mellem linjerne
er:

$\small v_{spids}=\cos^{-1}\left ( \frac{\left |\overrightarrow{r}_m\cdot \overrightarrow{r}_l \right |}{\left | \overrightarrow{r}_m \right |\cdot \left | \overrightarrow{r}_l \right |} \right )=\cos^{-1}\left (\frac{\left |\bigl(\begin{smallmatrix} -3\\2 \end{smallmatrix}\bigr)\cdot \bigl(\begin{smallmatrix} -2\\1 \end{smallmatrix}\bigr) \right | }{\sqrt{(-3)^2+2^2}\cdot \sqrt{(-2)^2+1^2}} \right )=$

$\small \cos^{-1}\left ( \frac{8}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{5}} \right )=7{.}13^\circ$

Svar #6
31. oktober 2017 af Sidselerblank

Okay tak, nu forstår jeg det.

Men hvordan kan man finde skæringen mellem to linjer, når den ene linje er en parameterfremstilling?

Brugbart svar (0)

Svar #7
31. oktober 2017 af fosfor

Linjen l er givet ved (x,y) = (-3,2)+t*(-2,1). Dvs
x = -3 - 2t
y = 3 + t

Indsæt i 2(x-1)+3y=0 og isoler t. Indsæt efterfølgende løsningen for t i (x,y) = (-3,2)+t*(-2,1)

Brugbart svar (0)

Svar #8
31. oktober 2017 af mathon

b) Bestem skæringspunktet mellem m og l

$\small \small m\! \! :\; \; 2x+ 3y=2$
ligningen for $\small l\! \! :$
$\small l\! \! :x=-3-2t$
$\small 2y=4+2t$ hvis sum er
$\small x+2y=1$

skæring mellem $\small m$ og $\small l$ :

$\small 2x+3y=2$
$\small -2x-4y=-2$ hvis sum er

   $\small -y=0$
   $\small y=0$ som indsat i $\small l\! \! :\; \; x+2y=1$
giver:
   $\small x+2\cdot 0=1$
   $\small x=1$
Skæringspunktet $\small S$
er derfor:
$\small S=\left ( 1,0 \right )$

Svar #9
31. oktober 2017 af Sidselerblank

Hvordan får du ligningen m til 2x + 3y = 2?

Brugbart svar (0)

Svar #10
31. oktober 2017 af fosfor

2(x-1)+3y=0
2x-2+3y=0
2x+3y=2

Svar #11
31. oktober 2017 af Sidselerblank

#10

Nååår, nu forstår jeg

Jeg forstår ikke, hvad man gør med de udregninger, som finder frem til skæringspunktet?

Brugbart svar (0)

Svar #12
01. november 2017 af StoreNord

I #8 bruger Mathon "Lige store koefficienters metode" til at løse et lignings-sæt på 2 ligninger.
(skæring mellem to linjer )

Skriv et svar til: Vinkel mellem linjer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.