Matematik

integral vha substitution?

14. februar 2018 af Egofaciens (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hvis der er en, der har en meget god og pædagogisk forklaring på substitutionsmetoden, bliver den taget imod med åbne arme, da jeg desværre ikke helt forstår fremgangsmåden, på trods af, at jeg har brugt en deel tid på at google ...

Det drejer sig især om den vedhæftede opgave.

Min eget forsøg på at løse opgaven kommer her:

$\int_{0}^{1}=\frac{2x}{x^{2}+1}$

$t=x^{2}+1$ , $t'=2x$

$\frac{dt}{dx}=2x \Leftrightarrow dx\cdot dt=2x \Leftrightarrow dx=\frac{dt}{2x}................$

Sådan kører den derudaf... Og jeg tvivler på, at det er rigtigt, så derfor undlader jeg bare at skrive resten ..

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. februar 2018 af peter lind

Jamen det er fuldstændigt rigtigt det du laver. Gå bare videre

Brugbart svar (0)

Svar #2
14. februar 2018 af Mathias7878

$\small \textup{S\ae t } u = x^2+1 \ \textup{og dermed} \ du = 2x\cdot dx$

$\small \textup{Nye gr\ae nser:}$

$\small u = x^2+1 =\left\{\begin{matrix} 1^2+1 = 2\\ 0^2+1 = 1 \end{matrix}\right.$

$\small \int_{0}^{1}\frac{2x}{x^2+1} dx= \int_{0}^{2}\frac{2x}{u}dx = \int_{0}^{2}\frac{1}{u}du = ln(2)-ln(0) = ln(2)$

- - -

Brugbart svar (0)

Svar #3
14. februar 2018 af Mathias7878

Der skulle selvfølgelig have stået et 1-tal i integralet som a. Jeg ved ikke lige, hvorfor jeg skrev et 0.

- - -

Brugbart svar (0)

Svar #4
14. februar 2018 af Mathias7878

korrektion:

$\small \small \int_{0}^{1}\frac{2x}{x^2+1} dx= \int_{1}^{2}\frac{2x}{u}dx = \int_{1}^{2}\frac{1}{u}du = ln(2)-ln(1) = ln(2)$

- - -

Brugbart svar (0)

Svar #5
15. februar 2018 af Mathias7878

Du skriver bare i det her indlæg, hvis du ikke forstår, hvordan man kommer frem til resultatet i #4.

- - -

Svar #6
15. februar 2018 af Egofaciens (Slettet)

Jeg tror bare ikke helt, at jeg forstår fremgangsmåden i at integrere ved hjælp af substitution. Hvorfor står der f.eks. lige pludselig 2x/u?

Brugbart svar (0)

Svar #7
15. februar 2018 af Mathias7878

Man sætter jo u til at være:

$\small u = x^2+1$

som så erstattes med x^2+1.

- - -

Brugbart svar (0)

Svar #8
15. februar 2018 af Mathias7878

Andet du ikke forstår?

- - -

Svar #9
15. februar 2018 af Egofaciens (Slettet)

Erstattes u med x^2+1 eller med 2x?

Brugbart svar (0)

Svar #10
15. februar 2018 af Mathias7878

Forklaring:

$\small \textup{Vi s\ae tter } \ u = x^2+1 \ \textup{og dermed bliver} \ du = 2x\cdot dx$

Når man laver man integration ved substitution ved det bestemte integral, bliver man nødt til at lave nye grænser.

De nye grænser findes ved at indsætte de oprindelige grænser ind i udtrykket for u, dvs:

$\small \textup{Nye gr\ae nser:} \ \small u = x^2+1 =\left\{\begin{matrix} 1^2+1 = 2\\ 0^2+1 = 1 \end{matrix}\right.$

Vi kan derfor omskrive integralet:

$\small \int_{0}^{1}\frac{2x}{x^2+1}dx$

til

$\small \int_{1}^{2}\frac{2x}{x^2+1}dx$

hvor x^2+1 kan erstattes med udtrykket for u:

$\small \int_{1}^{2}\frac{2x}{u}dx$

Vi anvender nu en brøkregel, der siger, at

$\small \frac{a\cdot b}{c}\cdot d = \frac{a}{c}\cdot b\cdot d$

hvor

$\small a = 1 \ b = 2x \ c = u \ d = dx$

hvorfor det kan omskrives til:

$\small \small \int_{1}^{2}\frac{1}{u}\cdot 2x\cdot dx$

Vi ser her, at:

$\small \small \small \int_{1}^{2}\frac{1}{u}\underbrace{\cdot 2x\cdot dx}_{du}$

hvilket vi kan erstatte med du:

$\small \small \small \int_{1}^{2}\frac{1}{u}\ du$

Vi anvender, at

$\small \int \frac{1}{x} = \int \frac{1}{u} = ln(u)$

dvs

$\small \small \small \int_{1}^{2}\frac{1}{u}\cdot du = \begin{bmatrix} ln(u) \end{bmatrix}^2_1 = ln(2)-ln(1) = ln(2)$

Giver det mening?

- - -

Svar #11
15. februar 2018 af Egofaciens (Slettet)

Jaa, nogenlunde! Tak for den uddybende forklaring :)

Skriv et svar til: integral vha substitution?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.