Matematik

Rang af Jacobi-matrix

02. maj 2018 af JohnDoe1990 - Niveau: Universitet/Videregående

Se vedhæftet opgavefomulering.

Jacobi-matricen for alle punkter p i rummet er givet ved:

$Df(p)= \begin{pmatrix} 2x & 2y & 2z \\ 2x-1 & 2y & 0 \end{pmatrix}$

hvor

$p=(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$

$1 \leq rank(Df(p)) \leq 2$

hvorfor det skal vises for hvilke punkter rangen er 1. Min første tanke var, at dette er tilfældet når søjlerne er lineært afhængige. Dvs. for de punkter i rummet som ligger i L og som opfylder at:

$det\begin{pmatrix} 2x & 2y \\ 2x-1 & 2y \end{pmatrix}=0$

$det\begin{pmatrix} 2x & 2z \\ 2x-1 & 0 \end{pmatrix}=0$

men synes ikke umiddelbart jeg får nogen pæne udtryk for x,y og z. Er jeg helt forkert på den?

Vedhæftet fil: SPM.png

Svar #1
02. maj 2018 af JohnDoe1990

Brugbart svar (1)

Svar #2
02. maj 2018 af fosfor

Rangen er mindst 1, da søjle 1 ikke kan være en 0-søjle, og højst 2 da der er 2 rækker.
Rangen forbliver 1 hvis og kun hvis de to determinantligninger er sande.
- Den første ligning er sand hvis og kun hvis y=0
- Den anden ligning er sand hvis og kun hvis z=0 eller x=½

Dvs rangen er 1 i en forening af to linjer i R³:
$\text{rang}=\begin{cases} 1 & y=0 \land (z=0 \lor x=0.5) \\ 2 & \text{else} \end{cases}$

Svar #3
02. maj 2018 af JohnDoe1990

Tak for svar! Kunne åbenbart ikke finde ud af hvordan man løser ligninger, men er kommet frem til det samme resultat som dig nu. Jeg tror jeg er kommet i mål med resten af opgaven nu. Mange tak. :-)

Skriv et svar til: Rang af Jacobi-matrix

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.